Este é um problema de exercício (Ex.3) da excelente nota de aula de Jeff Erickson. Aula 20: Árvores abrangentes mínimas [Fa'13] .
Prove que um gráfico com aresta ponderada tem uma árvore de abrangência mínima exclusiva se e somente se as seguintes condições forem válidas
Para qualquer partição dos vértices de em dois subconjuntos, a borda de peso mínimo com um ponto de extremidade em cada subconjunto é única.
A margem de peso máximo em qualquer ciclo de é única.
Considere o " direção" ea seguinte gráfico .
tem um MST exclusivo. No entanto, para a partição e , a borda de cruzamento de peso mínimo não é exclusiva.
Eu entendi errado alguns pontos? Ou, se houver falhas no teorema, como podemos corrigi-lo?
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Sim, isso parece ser um erro. Tente descobrir qual versão do exercício está correta. Por exemplo, parece que a segunda condição é realmente necessária.
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Yuval Filmus
A menos que eu entenda mal, a segunda condição também não é necessária. Considere o gráfico {(A, B, 1), (A, C, 1), (A, D, 1), (B, D, 10), (D, C, 10)}. Ele também possui uma árvore de abrangência mínima composta de arestas conectadas a A. Mas há um ciclo com 2 arestas de peso máximo (e a primeira condição também não é atendida). CC @YuvalFilmus
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babou
@jeffe, o que você acha? ;)
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Luke Mathieson
Eu acho que o segundo deveria estar em "em qualquer ciclo sem corda " (portanto, um ciclo mínimo no sentido de que não inclui os menores como subgráficos induzidos). A primeira condição parece significativamente errada. Por exemplo, pegue qualquer árvore onde todos os pesos das arestas estejam , então possui um MST exclusivo (em si), mas qualquer partição com mais de uma borda cruzada tem várias bordas com peso mínimo.
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Luke Mathieson
Opa! Sim, isso é um bug. (Nota para si mesmo: altere todas as instâncias de "Prove" para "Prove or
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Disprove