Alterando variáveis nas relações de recorrência

Atualmente, estou estudando Introdução aos Algoritmos (CLRS) e há um método específico que eles descrevem no livro para resolver as relações de recorrência.

O método a seguir pode ser ilustrado com este exemplo. Suponha que tenhamos a recorrência

T (n) = 2 T (\sqrt{n}) + \log n

$T(n) = 2T(\sqrt n) + \log n$

Inicialmente, eles fazem a substituição m = lg (n) e, em seguida, conectam-na novamente à recorrência e obtêm:

T (2^{m}) = 2 T (2^{\frac{m}{2}}) + m

$T(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m$

Até este ponto, eu entendo perfeitamente. Este próximo passo é confuso para mim.

Eles agora "renomeiam" a recorrência e deixam , que aparentemente produz $S(m)$ $S(m) = T(2^m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m

$S(m) = 2S(m/2) + m$

Por alguma razão, não está claro para mim por que essa renomeação funciona e parece apenas trapaça. Alguém pode explicar isso melhor?

— goooser
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Respostas:

Certamente não é trapaça. Pense em cálculo como a substituição pode ser usada para resolver uma integral complicada. A substituição torna a equação mais gerenciável para manipulação. Além disso, a substituição pode transformar recorrências um tanto complexas em familiares.

Foi exatamente isso que ocorreu no seu exemplo. Definimos uma nova recorrência . Lembre-se de que . Observe que, . Se esse ponto em particular ainda não estiver claro, deixe e observe que tudo o que estamos fazendo é este . Agora, podemos expressar expandindo-o para: Resolvendo para , vemos que isso resolve para o nosso amigo familiar . Agora que resolvemos , queremos expressar isso em termos de . Para fazer isso, basta reconectar nosso valor original para $S(m)=T(2^m)$ $T(2^m) = 2T(2^\frac{m}{2}) + m$ $S(m/2) = T(2^\frac{m}{2})$ $k =m/2$ $S(k) = T(2^k)$ $S(m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m .

$S(m) = 2S(m/2) + m.$

S

$S$

O (m \log m)

$O(m \log m)$

S

$S$

T (n)

$T(n)$

m

$m$ e temos .

T \in O (\log n \log \log n)

$T \in O(\log n \log \log n)$

— Nicholas Mancuso
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Certo, compreendo perfeitamente como a substituição ajuda a facilitar os problemas e como reconectar valores para obter a complexidade em termos de n. Acho que minha pergunta é: depois de deixar S (m) = T (2 ^ m), como você calcula S (m / 2)? É apenas não óbvio para mim, por algum motivo. Para ser mais específico, como você conclui que T (2 ^ (m / 2)) = S (m / 2). Parece que na recorrência T, o tamanho subproblema está sendo quadrado de raízes, enquanto na recorrência S, o tamanho subproblema está a ser reduzida para metade

A única parte que não compreendo é quando você diz "Observe que, S (m / 2) = T (2 ^ (m / 2))" Essa é a única parte que não é óbvia para mim. Estou acostumado com a ideia de fazer substituições variáveis, mas não estou acostumado com a ideia de substituir uma recorrência inteira.

Ah, ok, a última edição fez isso por mim. Está claro agora, obrigado!

Eu tenho um pouco de dúvida. Se eu escrever a função S () em termos de keu estou ficando abaixo da equação S (k) = 2S (k / 2) + m Como posso obter um substituto mparak

— Atinesh

O meios é que e são duas funções diferentes que produzem o mesmo resultado, tendo entradas que e , respectivamente. $S(m) = T(2^m)$ $S$ $T$ $m$ $2^m$

A função pode ser considerada como um operador com duas etapas internas (caso contrário, composição das funções): $S$

$S'$ Operador : entrada: , saída: $m$ $2^m$
$T$ Operador (função original): Entrada: saída da primeira parte, Saída: Conforme definido originalmente.

Portanto, as transições são:

m \to 2^{m} \to T (2^{m}) = S (m)

$m\to 2^m\to T(2^m) = S(m)$

\frac{m}{2} \to 2^{m / 2} \to T (2^{m / 2}) = S (\frac{m}{2}) .

$\tfrac{m}2\to2^{m/2}\to T(2^{m/2}) = S(\tfrac{m}2)\,.$

— Vivek Anand Sampath
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