Resolvendo usando o teorema do mestre

Introduction to Algorithms , 3rd edition (p.95) tem um exemplo de como resolver a recorrência

T (n) = 3 T (\frac{n}{4}) + n \cdot \log (n)

$\displaystyle T(n)= 3T\left(\frac{n}{4}\right) + n\cdot \log(n)$

aplicando o Teorema Mestre.

Estou muito confuso com a forma como é feito. Então, primeiro passo é comparar com . $a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n)$
$n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793})$ $f(n)$

Não tenho idéia de como eles compararam isso. O livro explica:

$f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })$ , onde , o caso 3 se aplica se pudermos mostrar que a condição de regularidade é válida para $\epsilon \approx 0.2$ $f(n).$

Seguido por:

Para n suficientemente grande, temos o seguinte: $af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ c=\frac{3}{4}.$

De onde veio ? $3\left(\frac{n}{4}\right)$

— nova impressão
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Se nossa recorrência assumir a forma , para usar o "terceiro caso" do método Master, devemos ter o seguinte: $T(n) = aT(n/b) + f(n)$

$f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ para alguns e se para alguma constante e todos suficientemente grandes , então $\epsilon > 0$ $a f(n/b) \leq c f(n)$ $c < 1$ $n$ $T(n) = \Theta(f(n))$

Nossa recorrência é definida como

T (n) = 3 T (n / 4) + n registro n .

$T(n) = 3T(n/4) + n \log n.$

Por definição, temos . $a = 3, b = 4, f(n) = n \log n$

Agora precisamos mostrar que é polinomialmente maior que . Essa é a parte " " acima. Definir consegue isso. A razão é que e . $f(n)$ $n^{\log_b a}$ $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ $\epsilon \approx 0.2$ $\log_4 3 \approx 0.793$ $f(n) = \Omega(n^{0.793 + \epsilon})$

Nos resta mostrar que satisfaz a condição de regularidade. Essa é a " para alguma parte constante e todas as partes suficientemente grandes ". $f(n)$ $a f(n/b) \leq c f(n)$ $c < 1$ $n$

Simplesmente inserimos nossos valores de para obter:Tudo o que fizemos foi pegar o " " em e conectar " ". $a,b$

a f (n / b) = 3 (n / 4) \log (n / 4) .

$a f(n/b) = 3(n/4) \log (n/4).$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

n / 4

$n/4$

Para facilitar a visualização, deixe e observe que . Trocando com , temos onde . $k = n/4$ $a f(k) = a k \log k$ $k$ $n/4$

3 (n / 4) \log (n / 4) \leq (3 / 4) n \log n = c f (n)

$3(n/4) \log (n/4) \leq (3/4)n \log n = c f(n)$

c = 3 / 4

$c = 3/4$

Isso termina nossos requisitos necessários e temos que . $T(n) = \Theta(n \log n)$

— Nicholas Mancuso
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Obrigado pela resposta detalhada. Então, é polinomialmente que ? Provavelmente eu não entendi o significado de "polinomialmente"

n^{0.793}

$n^{0.793}$

\leq

$\leq$

n^{1} \log n

$n^{1}\log n$

— newprint

O polinômio nesse caso é .

n^{1 - 0.793} = n^{0.217}

$n^{1-0.793} = n^{0.217}$

— JeffE

@newprint Polinomialmente maior significa apenas que a diferença entre os dois é pelo menos uma potência (possivelmente fracionária) de , e não uma função menor, como . Especificamente, é exatamente a condição para o "terceiro caso", que . É esse fator extra que o torna polinomialmente maior. E, como JeffE apontou, neste caso, .

n

$n$

(\log n)

$(\log n)$

f (n) = Ω (n^{\log_{b} n} \cdot n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^{\log_b n} \cdot n^\epsilon)$

n^{ϵ}

$n^\epsilon$

ϵ = .217

$\epsilon = .217$

— Joe

Poderíamos ter escolhido ? Tanto quanto eu sei que já é , por que precisamos adicionar ?

ϵ = 0.00000001

$\epsilon = 0.00000001$

f (n)

$f(n)$

Ω (n^{0.793})

$\Omega(n^{0.793})$

0.2

$0.2$

— Yos

O Omega grande não é um limite inferior no tempo de execução, de modo que deveria ser "assintotocialmente igual ou maior que" em vez de "é polinomialmente maior que .."?

— mLstudent33