n * log n e n / log n em relação ao tempo de execução polinomial

Eu entendo que $\Theta(n)$ é mais rápido que $\Theta(n\log n)$ e mais lento que $\Theta(n/\log n)$ . O que é difícil para mim entender é como realmente comparar $\Theta(n \log n)$ e $\Theta(n/\log n)$ com $\Theta(n^f)$ onde $0 < f < 1$ .

Por exemplo, como decidimos vs Θ ( n 2 / 3 ) ou Θ ( n 1 / 3$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^{2/3})$$\Theta(n^{1/3})$

Gostaria de ter algumas orientações para prosseguir nesses casos. Obrigado.

Se você apenas desenhar alguns gráficos, estará em boa forma. O Wolfram Alpha é um ótimo recurso para esses tipos de investigações:

Gerado por este link . Observe que, no gráfico, log (x) é o logaritmo natural, razão pela qual a equação de um gráfico parece um pouco engraçada.

é o inverso de 2 n . Assim como 2 n cresce mais rápido do que qualquer polinômio n $\log n$$2^n$$2^n$$n^k$ independentemente do tamanho de um finito , o log n se tornará mais lento que qualquer função polinomial n k, independentemente de quão pequeno seja um k diferente de zero e positivo .$k$$\log n$$n^k$$k$

vs n k , para k < $n / \log n$$n^k$$k < 1$ é idêntico a: vs n / n 1 - $n / \log n$$n / n^{1-k}$

como para n grande , n /$n^{1-k} > \log n$$n$ para k < 1 e grande n .$n / \log n > n^k$$k < 1$$n$

Para muitos algoritmos, às vezes acontece que as constantes são diferentes, fazendo com que uma ou outra seja mais rápida ou mais lenta para tamanhos de dados menores e não sejam tão bem ordenadas pela complexidade algorítmica.

Dito isto, se considerarmos apenas os tamanhos de dados super grandes , ou seja. qual deles eventualmente vence, então O(n^f)é mais rápido do que O(n/log n)para 0 < f < 1.

Uma grande parte da complexidade algorítmica é determinar qual algoritmo é eventualmente mais rápido, sabendo que O(n^f)é mais rápido do que O(n/log n)para 0 < f < 1, geralmente é suficiente.

Uma regra geral é que multiplicar (ou dividir) por log neventualmente será insignificante em comparação com multiplicar (ou dividir) por n^fqualquer f > 0.

Para mostrar isso mais claramente, vamos considerar o que acontece à medida que n aumenta.

   n       n / log n         n^(1/2)
   2        n/ 1              ?
   4        n/ 2             n/ 2
   8        n/ 3              ?
  16        n/ 4             n/ 4
  64        n/ 6             n/ 8
 256        n/ 8             n/16
1024        n/10             n/32

Observe o que diminui mais rapidamente? É a n^fcoluna.

Mesmo se festivesse mais perto de 1, a n^fcoluna começará apenas mais lentamente, mas à medida que n dobra, a taxa de variação do denominador acelera, enquanto o denominador da n/log ncoluna parece mudar a uma taxa constante.

Vamos traçar um caso particular em um gráfico

Fonte: Wolfram Alpha

Eu selecionei O(n^k)tal que ké bastante próximo de 1 (em 0.9). Também selecionei as constantes para que inicialmente O(n^k)sejam mais lentas. No entanto, observe que, eventualmente, "vence" no final e leva menos tempo que O(n/log n).

$n^f$$\dfrac{n}{n^{1-f}}$$n^{2/3}=n/n^{1/3}$

$\log n$$n^\varepsilon$$\varepsilon>0$

Ao comparar os tempos de execução, é sempre útil compará-los usando grandes valores de n. Para mim, isso ajuda a criar intuição sobre qual função é mais lenta

No seu caso, pense em n = 10 ^ 10 e a = 0,5

O(n/logn) = O(10^10/10) = O(10^9)
O(n^1/2) = O(10^10^.5) = O(10^5)

Portanto, O (n ^ a) é mais rápido que O (n / logn), quando 0 <a <1 eu usei apenas um valor, no entanto, você pode usar vários valores para criar intuição sobre a função

Deixei $f \prec g$denotar "f cresce assintoticamente mais lento que g", então você pode usar a seguinte regra fácil para polilogarítmica? funções:

The order relation between the tuples is lexicographic. I.e. $(2, 10) < (3, 5)$ and $(2, 10) > (2, 5)$

Applied to your example:

$\mathcal{O}(n/\log n) \Rightarrow (1, -1, 0)$

$\mathcal{O}(n^{2/3}) \Rightarrow (2/3, 0, 0)$

$\mathcal{O}(n^{1/3}) \Rightarrow (1/3, 0, 0)$

You could say: powers of n dominate powers of log, which dominate powers of log log.

Source: Concrete Mathematics, p. 441