Computabilidade de igualdade a zero para uma linguagem simples

Suponha que tenhamos uma árvore na qual as folhas sejam rotuladas com um conjunto de números $L$e nós internos com um conjunto de operações $O$.

Em particular $L$ pode ser $\mathbb{N}, \mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$e, opcionalmente, pode conter $\pi$ e / ou $e$. $O$ pode ser qualquer subconjunto de $\{+,-,\cdot,/,\hat\ \}$.

A igualdade com zero é decidível? As comparações de sinais são decidíveis? Se sim, eles são viáveis?

Operações "inválidas" ($0/0$, $0^0$, ...) produzir $NaN$, $NaN \neq 0$ e $NaN$ propaga através de cálculos, como de costume.

Algumas combinações são triviais: se nos restringirmos às operações de campo e não incluirmos $\pi$ ou $e$ no $L$então podemos calcular a fração resultante e terminar com ela. Ou se restringirmos a$\mathbb{Z} \cup \{\pi\}$ e $\{+,-,\cdot\}$podemos calcular o polinômio e verificar os coeficientes. Por outro lado, poderes (e, portanto,$n$-ésimas raízes) e $\pi$ e $e$ tornar as coisas consideravelmente mais difíceis.

O problema "igualdade com zero" é uma instância do problema constante .

Se você usar os operadores $\{+,-,\times,/\}$ (ou seja, você não incluiu o operador de energia), todos os seus problemas provavelmente são decidíveis.

Testando igualdade com zero

Por exemplo, vamos considerar $L = \mathbb{Z} \cup \{\pi\}$. Então você pode tratar$\pi$ como um símbolo formal, de modo que cada folha seja um polinômio em $\mathbb{Z}[\pi]$ (por exemplo, o número inteiro $5$ é o polinômio constante $5$; $\pi$ é o polinômio $\pi+0$do grau 1). Agora você pode expressar a árvore como um polinômio racional sobre$\mathbb{Z}$com $\pi$ como o desconhecido formal.

Suponha que esse polinômio seja $p(\pi)/q(\pi)$. Teste se$p(\pi)$ é o polinômio zero (grau $-\infty$) Se não for o polinômio zero, a expressão não será igual a zero. E se$p(\pi)$ é o polinômio zero e $q(\pi)$não é o polinômio zero, então a expressão é igual a zero. A correção deste procedimento decorre do fato de que$\pi$é transcendental .

Qual é a complexidade deste procedimento? A resposta depende do modelo computacional. Vamos supor que cada operador gaste um tempo constante para avaliar (independentemente do tamanho dos operandos). Então a complexidade depende do tamanho dos polinômios resultantes. O grau do polinômio pode crescer exponencialmente com a profundidade da árvore. Portanto, se você construir o polinômio recursivamente e expressá-lo explicitamente (em forma de coeficiente), o tempo de execução será no máximo exponencial na profundidade da árvore. Felizmente, o grau cresce no máximo linearmente no número de folhas na árvore; portanto, o tempo de execução de um algoritmo determinístico é linear no tamanho da árvore.

Portanto, assumindo uma representação direta da árvore e um modelo computacional simplista, isso fornece um algoritmo de tempo linear para teste zero quando os operadores estão $\{+,-,\times,/\}$.

Este procedimento não funciona apenas para $L=\mathbb{Z} \cup \{\pi\}$, mas também para $\mathbb{N} \cup \{\pi\}$ e $\mathbb{Q} \cup \{\pi\}$.

O mesmo procedimento também funciona para $L=\mathbb{Q} \cup \{\pi,e\}$, se pudermos assumir uma conjectura razoável: que $\pi$ e $e$são algebricamente independentes. Não se sabe se essa conjectura está correta, mas parece provável. Enfim, aqui está a abordagem. Tratamos o polinômio como um polinômio multivariado em duas incógnitas$\pi,e$em vez de um desconhecido, mas tudo continua como antes, dada a independência algébrica de$\pi$ e $e$. Também funciona para$L=\mathbb{Z} \cup \{\pi,e\}$ e $L=\mathbb{N} \cup \{\pi,e\}$também, novamente, assumindo a conjectura.

Se você quiser ser extravagante, poderá usar algoritmos aleatórios para teste de identidade polinomial. E se$L = \mathbb{Z} \cup \{\pi\}$, eles terão o seguinte: escolha um primo aleatório $r$ e um número inteiro aleatório $s_{\pi} \in \{0,\dots,r-1\}$; substitua cada instância de$\pi$ com $s_{\pi}$; e verifique se a expressão resultante é avaliada como$0 \bmod r$. (Se você possui e , escolhe dois inteiros aleatórios e .) Você pode repetir esse teste várias vezes. Se esse procedimento fornecer algo diferente de zero (módulo ), a expressão original certamente será diferente de zero. Se sempre der zero (módulo ), com alta probabilidade, a expressão original será igual a zero. Isso pode ser mais eficiente em alguns modelos computacionais (por exemplo, onde o tempo para avaliar um único operador depende do tamanho dos operandos).$\pi$$e$$s_{\pi}$$s_e$$r$$r$

Comparação de sinal

Você também pode encontrar o sinal da expressão usando procedimentos semelhantes (novamente, assumindo que você excluiu o operador ^ e novamente, assumindo que e são algebricamente independentes). Avalie a expressão como um polinômio racional sobre . Suponha que você tenha determinado que e . Você quer saber se ou não.$\pi$$e$$p(\pi,e)/q(\pi,e)$$\mathbb{Q}[\pi,e]$$p(\pi,e)/q(\pi,e) \ne 0$$q(\pi,e) \ne 0$$p(\pi,e)/q(\pi,e) > 0$

Aqui está uma abordagem. Observe que se . Portanto, podemos formar um novo polinômio e reduzi-lo ao problema de avaliar o sinal de . Basicamente, precisamos avaliar o sinal de um polinômio racional em e . Sabemos que isso é avaliado como algo diferente de zero.$p(\pi,e)/q(\pi,e) > 0$$p(\pi,e) \cdot q(\pi,e) > 0$$r(\pi,e) = p(\pi,e) \cdot q(\pi,e)$$r(\pi,e)$$\pi$$e$

Uma abordagem é a de calcular e para bits de precisão, e em seguida avaliar em conformidade, ganhando limites inferiores e superiores de . Se 0 for incluído nesse intervalo, duplo , até que o limite inferior seja estritamente positivo ou o limite inferior seja estritamente negativo.$\pi$$e$$k$$r(\pi,e)$$r(\pi,e)$$k$

Qual é a complexidade dessa abordagem? Sefor avaliado como um valor , acho que o tempo de execução será polinomial no tamanho da entrada e em .$|r(\pi,e)|$$\epsilon$$\lg 1/\epsilon$

Pode haver um algoritmo melhor, mas este é o melhor que posso apresentar agora.

Conclusão

O argumento é que o operador de energia (^) é a verdadeira fonte de dificuldade. Sem o operador de energia, todos os seus problemas podem ser resolvidos sem muita dificuldade (assumindo uma conjectura razoável).

Esta é uma pergunta bastante complicada! Como você parece entender, o problema real é a presença de . Está intimamente relacionado a uma conjectura bem conhecida: a conjectura de Schanuel , que afirma que, essencialmente, não existem relações algébricas não triviais entre e .$\hat{}$$\pi$$e$

A resposta positiva (esperada) a esta conjectura daria a você um procedimento de decisão para comparação com :$0$

• Reduza a expressão usando igualdades algébricas (por exemplo etc.)$(x^y)^z = x^{yz}$
• Separe os termos com expoentes e os termos sem.
• Verifique se a base ( em ) dos termos com expoentes é linearmente independente.$x$$x^y$
• O termo é 0 se for trivial, ou seja, reduz a 0 por operações algébricas.

Uma questão relacionada é o problema da função exponencial de Tarski, que envolve variáveis. No entanto, é relativamente simples reduzir expressões concretas com expoentes a funções com variáveis, dado o teorema de Lindemann-Wierstrass .

Edit: Eu não sei nada sobre a complexidade real do problema, no entanto. Observe que isso depende muito do seu modelo computacional, por exemplo, se as operações aritméticas são constantes.

Edit 2: Cometi um erro crucial: não é a base em que precisa ser tomada, mas sim , que é muito mais difícil de verificar a independência linear.$x$$x^y$$y\ln(x)$