O que há de errado com as somas dos termos do Landau?

eu escrevi

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

mas meu amigo diz que isso está errado. Na folha de dicas do TCS, eu sei que a soma também é chamada de que tem crescimento logarítmico em . Portanto, meu limite não é muito preciso, mas é suficiente para a análise que eu precisava. $H_n$ $n$

O que eu fiz errado?

Edit : Meu amigo diz que com o mesmo raciocínio, podemos provar que

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

Agora isso está obviamente errado! O que está acontecendo aqui?

asymptotics landau-notation

— Rafael
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Veja uma discussão sobre as tags desta pergunta aqui .

— Raphael

meta-discussão sobre os algoritmos de tags .

— Kaveh

Veja também um tratamento mais concreto de um exemplo comum: qual é o tempo de execução assintótico desse loop aninhado?

— Gilles 'SO- stop be evil'

Respostas:

O que você está fazendo é um abuso muito conveniente de notação.

Alguns pedantes dirão que o que você escreve não faz sentido, pois indica um conjunto e você não pode fazer operações aritméticas com eles do jeito que está fazendo. $\mathcal{O}(f)$

Mas é uma boa idéia ignorar esses pedantes e assumir que representa algum membro do conjunto. Então, quando dizemos , o que realmente queremos dizer se . (Nota: alguns pedantes também podem tremer com essa afirmação, alegando que é um número é a função!) $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$

Isso torna muito conveniente escrever expressões como

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

O que isso significa é que existe algum tal que $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

No seu caso de

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

você está abusando ainda mais e precisa ter cuidado.

Existem duas interpretações possíveis aqui: refere a uma função de ou a uma função de ? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

Eu acredito que a interpretação correta é interpretá-la como uma função de . $k$

Se você tentar pensar nisso como uma função de , se considerado incorreto, poderá levar a possíveis falácias, como pensar que é e tentar escrever $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

Se você tentar pensar nisso como uma função de , é verdade que, se (como o argumento vai para ) e nunca for , isso $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

Observe que no meio, usamos o conveniente abuso da notação para significar que, para alguma função a soma é . Observe que a função final dentro de se refere a uma função de . A prova não é tão difícil, mas você deve considerar o fato de estar lidando com um limite superior assintótico (ou seja, para argumentos suficientemente grandes), mas a soma começa em . $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

Se você tentar pensar nisso como uma função de , também é verdade que se (como o argumento vai para ), então $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

Portanto, sua prova é essencialmente correta, em qualquer uma das interpretações.

— Aryabhata
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Conclusão: esteja ciente (certifique-se) de que toda ocorrência de um símbolo Landau introduz (tem) sua própria constante .

— Raphael

O que você escreveu está perfeitamente correto. O th número harmónica é, de facto, o conjunto de . $n$ $O(n)$

Prova: . $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

O limite superior não é apertado , mas está correto. $O(n)$

— JeffE
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Ok: 1 / i ≤ 1 = O (1).

— 21412 JeffE

A preocupação é direcionada ao segundo sinal de igualdade. Como verifico isso?

— Raphael

Mas isso também está correto. Uma soma de n termos, cada um dos quais é O (1), é de fato O (n).

— Suresh

@Suresh Somente se as constantes implícitas no s forem independentes da variável de soma, e esse é o ponto aqui (questão inicial).

O

$\cal{O}$

— Raphael

O bug não está na segunda igualdade. o bug (na segunda expressão) está em como você CHEGA a esse somatório. Indo de está correto. Ele está afirmando que está errado. Sei que isso é óbvio para todos os interessados, mas acho que este é o problema com 'seeding' perguntas :)

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

— Suresh

Para o segundo exemplo, você não pode afirmar que

Eu = O (1)

$i = O(1)$

desde que varia com . Após algumas etapas, será o caso de . Uma maneira mais apropriada é para dizer que uma vez que, de facto, em todo o somatório nunca excede . Por esse raciocínio, $i$ $n$ $i>n/2$ $i = O(n)$ $i$ $1\cdot n$

\sum_{Eu = 1}^{n} Eu = \sum_{Eu = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

No entanto, a coisa certa a fazer é realmente usar a notação big-O apenas no final. O limite superior limita seu somatório o mais apertado possível, e somente quando terminar, use as notações assintóticas para evitar essas armadilhas.

— Tocou.
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