Essa linguagem é definida usando primos duplos regulares?

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Deixei

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

é regular? $L$

Esta questão parecia suspeita à primeira vista e eu percebi que ela está conectada à conjectura primária dupla . Meu problema é que a conjectura ainda não foi resolvida, portanto, não tenho certeza de como proceder para decidir se a linguagem é regular.

— Daniil
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Observe que se então é um quociente: (ou é o conjunto de prefixos de ). Em geral, para qualquer idioma unário o idioma é regular.

P = {a^{p} : p, p + 2 \in P}

$P=\{a^p:p,p+2\in\mathbb{P}\}$

L

$L$

L = P / a^{*}

$L=P/a^{\ast}$

P

$P$

P

$P$

P / a^{*}

$P/a^{\ast}$

— Sdcvvc

Uma variante divertida é . Isso é regular se a conjectura de primo gêmeo for falsa.

L = {a^{p} : p and p + 2 are prime}

$L = \{ a^p : p \text{ and } p+2 \text{ are prime} \}$

— Yuval Filmus

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Se a conjectura de gêmeos primos for verdadeira, então , que é regular. Se a conjectura de primo gêmeo não for verdadeira, existem finitos primos gêmeos; de fato, existe um maior par de primos gêmeos . Nesse caso, , uma linguagem finita. Em qualquer um dos casos, você obtém uma linguagem comum, então acho que é seguro concluir que é uma linguagem comum ... só não saberemos qual é até que a conjectura primária gêmea seja resolvida. $L = a^{*}$ $\{p, p + 2\}$ $L = \{a^{n} | n < p + 1\}$ $L$

— Patrick87
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<andava fazendo muita lógica intuicionista> Poderia a conjectura primária dupla ser indecidível?

— Gilles 'SO- stop being evil'

@ Gilles É realmente indecidível o termo correto aqui? Ou existem infinitos primos gêmeos ou não existem.

— Zach Langley

@ZachLangley Não necessariamente: a conjectura primária dupla (TP) pode ser indecidível (no sentido de axiomas matemáticos independentes dos habituais) . Mas meu comentário foi uma piada (impossível de entender se você não sabe o que é a lógica intuicionista ; de fato, a partir de "TP ou não TP", podemos deduzir "

é finito ou

é

", então

é regular de qualquer maneira.

L

$L$

L

$L$

L = a^{*}

$L=a^*$

L

$L$

— Gilles 'SO- stop be evil'

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Sim, este idioma é regular. A conjectura de gêmeos primos não precisa ser resolvida para ver isso:

Suponha que a conjectura de primo gêmeo seja verdadeira, ou seja, para qualquer , podemos encontrar um primo tal que seja primo. Então, em particular, , pois a condição é sempre verdadeira. Este último idioma é expresso por e, portanto, regular. $n$ $p \geq n$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \in N \}$ $a^*$

Suponha que a conjectura de gêmeos primos seja falsa. Então existe algum tal que existe algum primo tal que é primo, e para todo , não existe nenhum tal que seja primo. Nesse caso, , que é uma linguagem finita e, portanto, regular. $N$ $p$ $p+2$ $n > N$ $p$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \leq N \}$

Por distinção entre casos, concluímos que é regular. $L$

— Alex ten Brink
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É regular em ambos os casos.

$L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
$L$

— Janoma
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