Esse problema de otimização combinatória é semelhante a qualquer problema conhecido?


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O problema é o seguinte:

Temos uma matriz / grade bidimensional de números, cada um representando algum "benefício" ou "lucro". Temos também dois inteiros fixos e (para "width" e "height".) E um inteiro fixo .h nWhn

Agora, desejamos sobrepor retângulos de dimensões na grade, de modo que a soma total dos valores das células nesses retângulos seja maximizada.w × hnW×h

O quadro que se segue é um exemplo de uma rede bidimensional com duas de tais rectângulos sobrepostos sobre ele (a imagem não demonstra a solução ideal, apenas uma possível sobreposição onde e )n = 2W=h=2n=2

Exemplo de grade

Os retângulos não podem se cruzar (caso contrário, precisaríamos apenas encontrar a posição ideal para um retângulo e depois colocar todos os retângulos nessa posição.)

No exemplo acima, a soma total dos valores nas células seria-2+4.2+2.4+3,14+2.3-1.4+1 1-3.1.

É semelhante a qualquer problema conhecido na otimização combinatória? para que eu possa começar a ler e tentar encontrar maneiras de resolvê-lo.

Mais alguns antecedentes para os interessados:

Até agora, as únicas idéias que tive foram um algoritmo ganancioso (que encontraria a melhor localização para o primeiro retângulo, depois encontraria o local não sobreposto para o segundo retângulo etc.) ou algumas metaheurísticas, como algoritmos genéticos.

Na realidade, desejo resolver esse problema com uma grade com cerca de um milhão de células e dezenas de mil (ou mesmo centenas de milhares) de retângulos, embora não seja necessário resolvê-lo em um curto espaço de tempo (isto é, seria aceitável para o algoritmo pode levar horas ou até dias.) Não estou esperando uma solução exata, mas quero obter uma que seja a melhor possível, dadas essas restrições.

Felicidades!


(no telefone), parece que isso poderia ser resolvido com a correspondência máxima sob uma transformação e algumas restrições adicionais. Vou tentar escrever mais tarde.
Nicholas Mancuso

Eu posso imaginar exigir que o exato seja usado significa que às vezes um máximo "local" não é usado, mas um anel em torno dele. Estou imaginando uma forma simples de cúpula aqui, onde a tomada "gananciosa" do centro da cúpula significa que você não pode encaixar todo o ao seu redor. n - 1nn-1 1
Mark Hurd

Meu primeiro pensamento seria tentar a programação dinâmica. Numere os quadrados de acordo com a distância de Manhattan a partir do canto superior esquerdo. Um subproblema é: um número de um quadrado; uma lista de retângulos que você selecionou cujo cordão superior esquerdo tem número menor que ; e o objetivo é estender ao melhor conjunto possível de quadrados não sobrepostos, adicionando alguns subconjuntos de quadrados com os cantos superior esquerdo com números . Você pode resolver cada subproblema rapidamente se tiver a solução para todos os subproblemas posteriores. A única questão é quantos subproblemas você terá que explorar. L s L sseuseus
DW

Respostas:


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Minha última formulação teve uma falha fatal que exigiria uma quantidade exponencial de nós de "restrição".

Outra formulação gráfica natural do problema seria criar um gráfico em que cada vértice represente um retângulo com . Qualquer par de retângulos sobrepostos tem uma aresta neste gráfico. Ao resolver o conjunto independente de tamanho máximo ponderado , temos uma solução para o seu problema original. Existem muitas boas heurísticas e algoritmos de aproximação para isso.w r r , r k = nrWrr,rk=n


Esta é a direção na qual estou me inclinando, vou experimentar isso e aceitar a solução, se é a que acabo usando, aplausos.
fiftyeight

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Você pode formular isso como uma instância de programação linear inteira gigantesca (ILP) e aplicar um solucionador de ILP pronto para uso (lp_solve, CPLEX etc.). Eles lhe darão a melhor solução que encontrarem. Dado o tamanho da sua instância do problema, não sei se isso será eficiente o suficiente, mas seria fácil tentar.

Aqui está a formulação do ILP. Temos uma variável zero ou um para cada retângulo possível , com a interpretação pretendida de que significa que você inclui o retângulo no seu conjunto e significa que você não o inclui. Você deseja maximizar a função objetivo (em que é o lucro do retângulo ), sujeito à restrição que e que não há dois retângulos sobrepostos. A última restrição pode ser expressa como uma desigualdade linear, exigindo para todos os pares de retângulos r x r = 1 r x r = 0 r c r x r c r r r x r = n x r + x s1 r , sxrrxr=1 1rxr=0 0rcrxrcrrrxr=nxr+xs1 1r,sessa sobreposição. Então, dessa maneira, você obtém um ILP.


Você acha que esse problema é difícil de NP? Não estou convencido de que não tenha uma solução de tempo polivalente, e é improvável que os solucionadores de ILP concluam mesmo instâncias de tamanho moderado.
RB

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@RB, não tenho idéia se é NP-difícil. Veja meu comentário na pergunta sobre programação dinâmica para o meu primeiro pensamento sobre como tentar encontrar um algoritmo de tempo polinomial (mas não sei se o algoritmo resultante estará em P ou não). No que diz respeito ao que os solucionadores de ILP podem fazer, a única maneira de descobrir é tentar - às vezes o desempenho deles pode ser surpreendente.
DW
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