Qual é o truque de "adicionar um número enorme" na redução da 3-Partition?

Problema: Para provar o$\textsf{NP-Completeness}$do problema de "Packing Squares (com diferentes comprimentos laterais) em um retângulo" ,$\textsf{3-Partition}$ é reduzido, como mostra a figura a seguir.

No $\textsf{3-Partition}$ exemplo, existem $n$ elementos $(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n)$. A soma designada$t$ é $t = \frac{\sum a_i}{n/3}$.

Na redução, $B$é um número enorme (constante) e cada$a_i$ é representado por um $(B + a_i) \times (B + a_i)$quadrado. O espaço em branco no retângulo será preenchido por unidade ($1 \times 1$) quadrados.

Perguntas: Não entendo bem o truque de "adicionar um grande número$B$"na redução. Acho que é usado para forçar que qualquer esquema de embalagem dê uma solução para $\textsf{3-Partition}$. Mas como?

Pergunta 1: Qual é o truque de "adicionar um número enorme" para a redução de $\textsf{3-Partition}$? Especificamente, por que essa redução funciona? Por que esse truque é necessário, ou seja, por que a redução não funcionaria se deixássemos de fora$B$ (conjunto $B=0$)?

Tentei identificar a falha da prova de "qualquer embalagem dá uma partição 3", mas não consegui entender o ponto-chave.

Na verdade, eu também vi outras reduções de $\textsf{3-Partition}$que também usam esse truque. Assim,

Pergunta 2: Qual é o objetivo geral desse truque de "adicionar um número enorme" nas reduções de $\textsf{3-Partition}$( se houver )?

Nota: Esse problema é da vídeo aula (de 01:15:15) do Prof. Erik Demaine. Eu deveria ter verificado primeiro o artigo original "Empacotando quadrados em um quadrado" . No entanto, ele não está acessível para mim na Internet. Se você possui uma cópia e gostaria de compartilhar, pode encontrar minha caixa de correio em meu perfil. Desde já, obrigado.

O grande $B$ está aqui para garantir que os quadrados sigam o padrão mostrado na figura.

Na parte "existe uma embalagem $\Rightarrow$ existe uma partição 3 ". Você precisa exibir tripples de números inteiros com soma $=t$. Isso é fácil se os quadrados de codificação na embalagem estiverem dispostos 3 a 3 como na figura, mas como você sabe que é esse o caso? Por exemplo, com quadrados azuis muito ligeiramente menores, você pode ter dois quadrados pequenos lado a lado na mesma coluna e, em seguida, terá problemas.

Uma maneira de usar o truque do $B$ constante é dizer que não é possível fazer com que nenhuma linha horizontal cruze estritamente mais do que $n/3$ quadrados (essa linha tem comprimento $(B+t)\frac n3$, um quadrado tem tamanho pelo menos $B$e $B > t\frac n3$) Portanto, cada linha horizontal encontra um 1º quadrado, um 2º quadrado, etc., e então você pode mostrar (novamente usando o grande$B$), que o $i$os quadrados de cada linha devem se encontrar na mesma coluna. Depois de conseguir isso, você obtém uma 3 partição.

Sobre a pergunta 2, é obviamente difícil dar uma resposta formal, mas o padrão geral é o seguinte: com 3 partições, é necessário introduzir algum tipo de folga para permitir que qualquer número inteiro em um intervalo $[min,max]$de alguma forma, pode ser codificado e incorporado em um slot (que deve corresponder ao tamanho máximo possível). Porém, um problema comum é ter dois números inteiros no mesmo slot ou, geralmente, outros problemas sobrepostos (como nos quadrados aqui). Isso é resolvido certificando-se de que o$min$ é grande o suficiente em comparação com o tamanho do slot (geralmente precisamos $min > max/2$ou $min > max*(n-1)/(n)$ aqui): isso é facilmente alcançado com uma constante aditiva $B$.

Editar instância de amostra em que$B$ é necessário: deixe a instância da 3-partição ser $(10,7,2,10,9,2)$ com $t=20$. Esta não é uma instância. No entanto, com$B=0$, você tem uma embalagem válida do $40\times 20$ retângulo: use uma primeira coluna com quatro quadrados $(10,7,2,2)$, os dois últimos lado a lado e uma segunda coluna com apenas $(10,9)$. Isso não é possível com, digamos,$B=100$e um $240 \times 320$ retângulo.