Dureza de uma maximização quadrática restrita

Considere a seguinte maximização quadrática:

\begin{aligned} max_{x \in X} & x^{T} A x \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\mathbf{x} \in \mathcal{X}} &\quad\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \end{align}$ com onde

é uma matriz semidefinida positiva e

é um parâmetro de escarsidade. Esse problema é difícil de NP, devido a uma redução do problema de max-clique.

\begin{aligned} X = {x \in R^{n} : ‖ x ‖_{2} = 1, ‖ x ‖_{0} \leq k}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{X} = \lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} :~ \|\mathbf{x}\|_{2}=1, \|\mathbf{x}\|_{0}\le k \rbrace, \end{align}$

A

$\mathbf{A}$

k \leq n

$k \le n$

Estou interessado em um problema semelhante obtido pela imposição de estrutura adicional em $\mathcal{X}$ . Em particular, suponha que as $n$ variáveis em $\mathbf{x}$ sejam particionadas em $k$ grupos disjuntos. Restringimos o conjunto viável para vetores de unidade de comprimento $\mathbf{x}$ com uma variável ativa por grupo. Ou seja, $\mathcal{X}$ contém novamente vetores $k$ separados, mas o suporte não pode ser arbitrário; contém (no máximo) uma entrada diferente de zero para cada um dos $k$ grupos.

Observe que o conjunto viável no problema modificado é um subconjunto da maximização anterior, mas o número de suportes viáveis ainda pode ser exponencial no número de variáveis $n$ (para adequadamente escolhido $k$ ).

Suspeito que o problema modificado também seja difícil para o NP. Alguma idéia de como mostrar isso (ou refutar)? Sinta-se livre para compartilhar sua intuição.

complexity-theory optimization np-hard

— megas
fonte

Sem o requisito de semidefinitividade, isso deve ser difícil para NP por redução do conjunto independente. Diga é um gráfico com vértices. Construir um exemplo do seu problema com variáveis e grupos, um grupo per vértice de . Definir a primeira variável em 's para um grupo é como a adição de para o conjunto independente; definir a 2ª variável é como não adicionar ao conjunto. Agora você pode formar uma matriz que minimize o número de arestas modo que ambos estejam no conjunto. Mas isso vai

G

$G$

N

$N$

2 N

$2N$

N

$N$

v

$v$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

v

$v$

A

$A$

(v, w) \in E

$(v,w) \in E$

v, w

$v,w$

A

$A$ ser semidefinido? Eu não sei.

— DW

@ DW, você poderia apenas usar o laplaciano da matriz de adjacência? é sempre semidefinido positivo.

L

$L$

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso, não sei! Idéia interessante.

— DW

Se o único problema é que o argumento não é positivo semidefinido (PSD) ( é apenas simétrico), então tudo bem: sempre podemos resolver a maximização em . Vou dar uma olhada na abordagem proposta e informar você!

A

$\mathbf{A}$

A

$\mathbf{A}$

A + | λ_{m i n} (A) | \cdot I

$\mathbf{A}+|\lambda_{min}(\mathbf{A})| \cdot \mathbf{I}$

— Megas

Tenho alguns problemas para ver como adaptar essa abordagem ao meu problema. Para mim, não é binário; é um vetor real de norma de unidade, também pode ter entradas negativas, o que introduz algumas dificuldades no design de . A menos que eu esteja perdendo algo óbvio? Mas gostei da ideia das variáveis . Continuarei pensando se consigo descobrir algo baseado nisso.

x

$\mathbf{x}$

A

$\mathbf{A}$

2 N

$2N$

— Megas

(Encontrei a resposta para minha pergunta, por isso estou compartilhando um esboço aqui) .

A maximização quadrática pode ser mostrada como NP-difícil por uma redução do seguinte problema:

Dado o gráfico da partícula , contém uma classe . $k$ $G=(V_{1}, \dots, V_{k}, E)$ $G$ $k$

Observe que o último problema é um caso (aparentemente) especial do problema de max-clique restrito a uma família específica de gráficos. No entanto, pode ser demonstrado que ele também é NP-completo por uma redução do próprio problema geral de max-clique (Veja aqui) .

Vamos denotar a matriz de adjacência de . Seja um conjunto arbitrário de vértices e denote a submatriz principal correspondente a , ou seja , é a adjacência do gráfico induzido por . Se os vértices em formarem uma classe em , todas as entradas fora da diagonal de serão iguais a e seu principal valor próprio . Em qualquer outro caso, isto é, se $\mathbf{A}$ $G$ $S$ $k$ $\mathbf{A}_{S}$ $S$ $\mathbf{A}_{S}$ $k\times k$ $S$ $S$ $k$ $G$ $\mathbf{A}_{S}$ $1$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) = k-1$ $S$ não é uma classe , então . Finalmente, observe que, como é partita, uma -clique (se existir) conterá um único vértice de cada um dos conjuntos , . $k$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) < k-1$ $G$ $k$ $k$ $V_{i}$ $i=1,\dots,k$

Vamos , em que é o menor autovalor de ; é uma matriz PSD. Além disso, considere grupos disjuntos de variáveis correspondentes aos conjuntos de . Resolvemos a maximização quadrática com a entrada e os grupos de variáveis especificados. O valor objetivo máximo será igual ase e somente se contém um -clique. $\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A} + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|\cdot\mathbf{I}$ $\lambda_{n}(\mathbf{A})$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k$ $V_{1}, \dots, V_{k}$ $G$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k-1 + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|$ $G$ $k$

— megas
fonte