Poder computacional de autômatos min-heap determinísticos versus não determinísticos

Esta é uma questão de acompanhamento deste .

Em uma pergunta anterior sobre máquinas de estado exóticas , Alex ten Brink e Raphael abordaram os recursos computacionais de um tipo peculiar de máquina de estado: autômatos de min-heap. Eles foram capazes de mostrar que o conjunto de idiomas aceitos por essas máquinas ( ) não é um subconjunto nem um superconjunto do conjunto de idiomas sem contexto. Dada a resolução bem-sucedida e o aparente interesse nessa pergunta, prossigo para fazer várias perguntas de acompanhamento. $HAL$

Sabe-se que autômatos finitos determinísticos e não determinísticos têm capacidades computacionais equivalentes, assim como as máquinas de Turing determinísticas e não determinísticas. No entanto, os recursos computacionais dos autômatos push-down determinísticos são inferiores aos dos autômatos push-down não-determinísticos.

Os recursos computacionais dos autômatos min-heap determinísticos são menores ou iguais aos dos autômatos min-heap não determinísticos?

formal-languages automata nondeterminism

— Patrick87
fonte

Parece que, para esse modelo, as máquinas não determinísticas não são equivalentes às determinísticas, basicamente pela mesma razão que os PDAs determinísticos não são equivalentes aos não determinísticos.

Considere o idioma

L = x $ y ∣ | x | = | y | \land x \neq y

$L =\\{ x\$y \mid |x|=|y| \wedge x\ne y\\}$ (onde

é um sinal especial não contido em

$

$\$$

x

$x$

y

$y$ ).

I afirmam que uma máquina não-determinístico - pode decidir esta linguagem: Ele executa a mesma que a de PDA por . A solução PDA padrão usa a pilha apenas para contar as compensações: adivinha não-deterministicamente um deslocamento , lembra o valor de (adicionando um símbolo à pilha a cada etapa), então o PDA ignora a entrada até encontrar o e em seguida, ele exibe símbolos da pilha até que ela esteja vazia. Nesta fase, estamos exatamente no e ele PDA pode verificar se $N$ $HAL$ $L$ $i$ $x_i$ $\$$ $y_i$ $x_i \ne y_i$ . (se algo der errado no meio, o PDA "morre"). Como o alfabeto da pilha é unário, ele pode ser simulado com uma máquina de min-heap. Na verdade: qualquer que é aceito por um PDA com um alfabeto unário pode ser aceito por uma máquina de min-heap. (Talvez eu esteja ignorando outro sinal especial adicionado para identificar uma pilha vazia, mas um sinal equivalente pode ser adicionado ao heap) $L$

Por outro lado, não tenho a prova formal, mas aqui estão os meus pensamentos:

Afirmo que uma máquina determinística - é incapaz de decidir essa linguagem. Intuitivamente, o conteúdo do heap não pode ser correlacionado com (caso contrário, permita . O conteúdo do heap permanece o mesmo ..). Isso sugere que a única coisa que importa é o número de elementos na pilha, mas, se - pode decidir , o mesmo pode ser determinístico - $D$ $HAL$ $x$ $x$ $D$ $HAL$ $L$ $PDA$ .

Edit: mais detalhes sobre a reivindicação "permute ". Supondo que a conjectura de Rafael exista e que, após lê-las, o conteúdo da pilha é o mesmo. Em seguida, considere as palavras e . O conteúdo do heap é o mesmo quando o HAL chega ao cifrão, portanto, ele deve aceitar os dois ou rejeitar os dois. contradição . $x$ $x_1$ $x_2$ $x_1\$x_1$ $x_2\$x_1$

alguém vê uma prova imediata da conjectura?

— Tocou.
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x

$x$

Qual definição de min-heaps você está usando: a minha original, ou a mais natural sugerida por Raphael? Em qualquer um dos casos, você pode ter mais clareza sobre como uma máquina não determinística aceitaria o idioma que você fornece ... o que ela coloca e tira da pilha e quando?

— Patrick87

n

$n$

n

$n$ , pois o número total de símbolos na pilha é linear e o número de símbolos diferentes é constante.

— Yuval Filmus