Encontrar uma testemunha pode ser difícil para NP, mesmo se já sabemos que existe uma?

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Os exemplos comuns de problemas difíceis de NP (clique, 3-SAT, cobertura de vértices etc.) são do tipo em que não sabemos se a resposta é "sim" ou "não" anteriormente.

Suponha que tenhamos um problema no qual sabemos que a resposta é sim, além disso, podemos verificar uma testemunha em tempo polinomial.

Podemos sempre encontrar uma testemunha no tempo polinomial? Ou esse "problema de pesquisa" pode ser difícil para NP?

complexity-theory np-hard search-problem

— mba
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É improvável. Pode ser difícil para o PPAD.

— RB

Não sei se isso é uma coincidência ou não, mas este post do blog foi publicado hoje: ... um lembrete de que o total de problemas de pesquisa não está completo no NP .

— 26515 Pdl GD

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TFNP é a classe de funções de valores múltiplos com valores polinomialmente verificados e com garantia de existência.

Existe um problema no TFNP que está completo no FNP se e somente se NP = co-NP, consulte o Teorema 2.1 em:

Nimrod Megiddo e Christos H. Papadimitriou. 1991. Sobre funções totais, teoremas da existência e complexidade computacional. Theor. Comput. Sci. 81, 2 (abril de 1991), 317-324. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

e as referências [6] e [11] dentro. PDF disponível aqui .

— Rahul Savani
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Não, nem sempre é possível encontrar uma solução em tempo polinomial, mesmo se você souber que existe uma solução.

De acordo com Khanna, Linial e Safra [1] (veja o terceiro parágrafo), segue-se já do trabalho clássico de 1972 de Karp que a coloração de um gráfico de três cores com três cores é NP-hard. (O trabalho deles estende isso para mostrar que os gráficos de 4 cores e 3 cores ainda são difíceis de NP).

Observe que isso não contradiz a resposta de Rahul Savani . Isso ocorre porque, para todas as relações binárias no FNP, devemos poder verificar em tempo polinomial se está na relação. Dado que decidir se um gráfico de 3 cores com 3 cores é NP-completo, é improvável que o problema de encontrar uma coloração 4 em um gráfico de 3 cores esteja no FNP, pois não podemos verificar a validade da entrada em tempo polinomial . Assim, não há contradição com o resultado de Megiddo-Papadimitriou. $P$ $P(x,y)$ $x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial e Shmuel Safra. "Sobre a dureza de aproximar o número cromático." Theory and Computing Systems, 1993., Anais do 2º Simpósio de Israel no. IEEE, 1993.

— Juho
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Se uma relação NP for NP difícil no que diz respeito a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então $\: NP = coNP \;$ .

Prova:

se uma relação NP for NP-difícil em relação a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então:

Vamos haver uma relação tão difícil, e deixar haver uma redução de Turing-sim-resposta somente co-não-determinístico de tempo polinomial de para . $R$ $M'$ $SAT$ $R$ $\:$ Seja o algoritmo coNP dado por: $M$
$\;$ Tente analisar o suposto anti- certificado em um certificado e respostas internos.
$\;$ Se isso falhar, envie YES; tente executar no anti-certificado interno, fornecendo $M'$
$\;$ a mesma resposta que foi dada anteriormente para consultas repetidas e usando as respostas de
$\;$ o anti-certificado (externo) para todas as outras consultas do oracle. $\:$ Se tornaria mais distinto $M'$
$\;$ consultas que não o número de respostas ou qualquer uma de suas consultas não seriam relacionadas por a $R$
$\;$ a resposta dessa consulta ou produziria SIM, o gera SIM, caso contrário, gera NO. Como ser um oráculo para apenas impõe condições independentes às respostas do oráculo e é uma redução apenas de resposta sim, os pares de consulta-resposta produzidos por e um anti-certificado válido sempre podem ser estendidos a um oráculo para , então resolve $M'$ $M$ $M$
$R$
$M'$ $M'$
$R$ $M$ $SAT\hspace{-0.02 in}$ .
portanto $\: SAT\in coNP \;$ .
Desde é -Hard com respeito à redução de tempo polinomial deterministas, $SAT$ $NP$ $\: NP\subseteq coNP \;$ .
Por simetria, $\: coNP \subseteq NP \;$ . $\;\;\;\;$ portanto $\: NP = coNP \;$ .

Portanto, se uma relação NP for NP difícil no que diz respeito a
reduções de Turing co-não-determinísticas de tempo polinomial apenas com resposta sim , então $\: NP = coNP \;$ .

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Eu não entendo nada disso. Você pode definir uma "redução de Turing co-não-determinística em tempo polinomial de resposta sim", um "anti-certificado" e também esclarecer o que

é exatamente ("redução de R SAT" não faz sentido para mim)?

M^{'}

$M'$

— Sasho Nikolov

Uma "redução de Turing em tempo polinomial co-não-determinístico com resposta sim" é uma máquina de oracle coNP cujo oráculo é para o que é a redução, de modo que nunca consultará o oráculo em uma entrada para a qual não há tamanho polinomial string que a consulta está relacionada com por

.

R

$R$

$\:$ (contínuo ...)

$\;\;\;\;$

(... contínuo)

$\:$ Um anti-certificado é o análogo de um certificado , com SIM e NÃO trocados.

$\:$

é a redução mencionada na frase que introduziu

.

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

$\:$ (Corrigi o erro de digitação no final dessa frase.)

$\;\;\;\;$

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Isso depende um pouco sobre a interpretação precisa da sua pergunta, mas eu acho que o cenário pode ser genericamente descrito como um problema 'COMPUTE Y', onde deu algum algoritmo universalmente fixo polinomial tempo e polinomial , na entrada , saída uma string , de modo que produz 1, e sempre existe para todos os possíveis . $T$ $p$ $\langle x, 1^n \rangle$ $y \in \{0,1\}^{p(n)}$ $T(x,y,1^n)$ $y$ $x$

$P = NP$

$A$ $A(\phi) = 1$ $\phi$ $A(\phi)=0$ $\bar{A}$ $\bar{A}(\phi) = 0$ $\phi$ $\bar{A}(\phi) = 1$ $\phi$ é insatisfatório.

$\bar{A}$ $y$ $T$ $NP = coNP$

$NP = coNP$ $NP$ $k$ $NP$

— Joe Bebel
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