Prova do teorema de Karp-Lipton

Estou tentando entender a prova do teorema de Karp-Lipton, conforme declarado no livro "Complexidade computacional: uma abordagem moderna" (2009).

Em particular, este livro declara o seguinte:

Teorema de Karp-Lipton

Se NP , PH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Prova: pelo Teorema 5.4, para mostrar PH , basta mostrar que e, em particular, basta mostrar que contém -complete idioma SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

O teorema 5.4 afirma que

para cada $i \geq 1$ , se $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ então PH = $\Sigma_i^p$ . Ou seja, a hierarquia cai para o i-ésimo nível.

Não estou conseguindo entender como implica . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Como uma pergunta mais geral: isso vale para todo , isto é, implica para todos os ? $i$ $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $i \geq 1$

complexity-theory complexity-classes

— WardL
fonte

Depois de um tempo, se bem me lembro, chegamos a uma explicação vaga: "Se , podemos transformar uma fórmula com quantificadores em uma com quantificadores , que podemos usar para transformar uma fórmula de da forma para uma das formas , o que o coloca em , o que provoca o colapso da hierarquia não estou certo de que eu entendo esse argumento completamente..

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$

— WardL

outra sugestão / idéia, as declarações matemáticas alternam entre inclusão de subconjuntos e igualdade (admita que isso é comum na teoria da complexidade). existe uma maneira de manter / stdize / reformular em um ou outro? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn 31/03

Lembre-se de que iff . Suponha agora que , e deixar . Então e assim por hipótese, o que implica que . Em outras palavras, , e assim $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ . $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

Aqui está o porquê sse . Para concretude, tomamos . Por definição, , se por algum P-time predicado , $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$ Da mesma forma , se por algum tempo-P predicado ,

x \in eu \Leftrightarrow \exists | y | < | x |^{O (1)} \forall | z | < | x |^{O (1)} \exists | W | < | x |^{O (1)} T (x, y, z, W) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

No entanto, essas duas afirmações são equivalentes, como mostra uma simples invocação das leis de Morgan, juntamente com o fato de P ser fechado sob complementação (veja

x \in \bar{eu} \Leftrightarrow \forall | y | < | x |^{O (1)} \exists | z | < | x |^{O (1)} \forall | W | < | x |^{O (1)} S (x, y, z, W) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$

S = \neg T

$S = \lnot T$

— Yuval Filmus
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