Pesquisando no espaço de permutações

Recebi n objetos e um conjunto de n permutações desses n objetos (de n! Permutações totais). Existe uma verdadeira permutação subjacente, que eu sei que é uma entre o conjunto de n permutações, mas não sei qual. Um oráculo, no entanto, conhece a verdadeira permutação. Para encontrar a permutação verdadeira, tenho permissão para consultar o oráculo para comparação por pares entre dois objetos (a antes b na permutação verdadeira?).

Uma estratégia ingênua seria fazer uma pesquisa binária (faça a pergunta de comparação em pares "certa" que elimina metade das permutações em cada estágio), para encontrar a verdadeira permutação nas etapas do log n. Minha pergunta é: isso sempre pode ser feito? Ou posso encontrar um conjunto de permutações contraditório, de modo que as consultas O (log n) não sejam suficientes.

Edit:
Exemplo: Digamos que meus objetos sejam 1,2,3,4. O conjunto de permutações é {1243, 2341, 1342, 3412}. Não conheço a verdadeira permutação. Eu pergunto "2 antes das 4 está na verdadeira permutação?". O oráculo retorna sim. Então eu sei que está entre as duas primeiras permutações. Eu então pergunto "1 antes das 3 está na verdadeira permutação?" para encontrar a verdadeira permutação.

— elexhobby
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1) O oráculo implementa uma relação completa de ordem? 2) Entendo que a permutação "verdadeira" é o mínimo ou o máximo dessa relação? 3) Antes de poder pesquisar binariamente, você deve classificar. 4) Encontrando um mínimo de resp. o máximo é possível em tempo linear. 5) Dado que o conjunto de entradas não está ordenado, não é possível deixar de verificar cada permutação de entrada pelo menos uma vez, portanto, um limite inferior linear é trivial. 6) Que tudo pressupõe que você não sabe nada sobre a relação de ordem; se você souber algo, poderá utilizá-lo.

— Raphael

@ Rafael: Minha pergunta não estava clara como eu escrevi anteriormente. Veja se o exemplo que adicionei ajuda. Estou preocupado com o número de perguntas que você deve fazer ao oráculo.

— precisa saber é o seguinte

Se eu entender o problema, então eu acho que este conjunto não pode ser cortado ao meio com um único par de 213456 124356 123465 132456 124356 123546.

— Louis

uma pergunta interessante seria para que subconjunto de permutações o log vinculado seria suficiente?

— Nikos M.

Considere o seguinte conjunto de $n$ ordens, que eu dou para $n = 6$ :

123456 213456 132456 124356 123546 123465

$123456 \\ 213456 \\ 132456 \\ 124356 \\ 123546 \\ 123465$ Esperemos que a generalização para arbitrária

n

$n$ está claro.

Se você nunca comparar $i$ e $i+1$ então você não pode distinguir permutação $1$ de permutação $i+1$ . Isso significa que você precisa de pelo menos $n-1$ comparações (este não é um argumento, mas pode ser convertido em um); isso é apertado (para este exemplo).

Permitam-me mencionar também dois trabalhos conhecidos na área:

Fredman mostrou que, se houver $\Gamma$ pedidos possíveis, você pode encontrar o correto usando $\log_2 \Gamma + 2n$ consultas.
Kahn e Kim mostraram que, se os pedidos em potencial constituem todos os pedidos possíveis, estendendo alguma ordem parcial, $O(\log \Gamma)$ consultas são suficientes.

— Yuval Filmus
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