O XOR-SAT generalizado é eficientemente solucionável?

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Vi como o XOR-3-SAT é eficientemente solucionável (por exemplo, consulte a seção "XOR-satisfability" na entrada da Wikipedia para o problema de satisfação booleana ).

Estou pensando em uma pergunta básica: O XOR-k-SAT é eficientemente solucionável, para fórmulas com quantidades variáveis de literais por cláusula?

Eu realmente gostaria de saber se podemos aumentar a quantidade de literais por cláusula além de 3 e se podemos ter comprimentos de cláusulas mistos.

complexity-theory satisfiability

— Matt Groff
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Que pesquisa você fez? Esperamos que você faça um esforço sério primeiro, antes de perguntar, e nos mostre na pergunta quais pesquisas você fez e o que tentou. A Wikipedia menciona que o algoritmo para resolver o XOR-3-SAT é a eliminação gaussiana. Você tentou entender como isso funciona e ver se isso se aplica ao XOR-k-SAT?

— DW

@DW Admito que não fiz muita pesquisa sobre isso. Vi a menção à eliminação gaussiana e imaginei que isso funcionaria para o XOR-SAT generalizado. Mas acho que estava procurando por confirmação. Espero que você perdoe minha preguiça. Vou tentar fazer mais pesquisas no futuro, antes de fazer perguntas como essa.

— precisa

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Parece que o artigo da Wikipedia ao qual você vinculou diz que XORSAT (não apenas 3-XORSAT) está em P. O método pelo qual eles estão resolvendo a fórmula 3-XORSAT em seu exemplo generaliza muito facilmente as fórmulas nas quais as cláusulas podem ter arbitrariamente grande número de variáveis e números diferentes de variáveis.

Você apenas vê a fórmula como um sistema de equações lineares, onde você tem uma equação para cada cláusula e uma variável para cada variável. Por exemplo, a fórmula:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

tem uma atribuição satisfatória se e somente se o seguinte sistema de equações tiver uma solução:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

E podemos encontrar soluções para sistemas lineares de equações como estas em tempo polinomial usando a eliminação gaussiana!

— Dylan McKay
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Sim. É solucionável por eliminação gaussiana. A eliminação gaussiana pode resolver qualquer sistema de equações que seja módulo linear. XOR atua como módulo de adição 2, portanto, cada cláusula XOR-SAT atua como módulo de equação linear 2. Consequentemente, a eliminação gaussiana pode resolver qualquer fórmula XOR-k-SAT ou qualquer fórmula XOR-SAT, mesmo se houver um número variável de literais por cláusula ou comprimento de cláusula mista, em tempo polinomial.

— DW
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