Aproximação da largura de banda mínima em árvores binárias

O problema da largura de banda mínima é encontrar uma ordem dos nós do gráfico na linha inteira que minimiza a maior distância entre dois nós adjacentes.

O problema de decisão é NP-completo, mesmo para árvores binárias. Resultados de complexidade para minimização de largura de banda. Garey, Graham, Johnson e Knuth, SIAM J. Appl. Math. Vol. 34, nº 3, 1978 .

Qual é o resultado de aproximação eficiente mais conhecido para calcular a largura de banda mínima em árvores binárias? Qual é a dureza condicional mais conhecida do resultado da aproximação?

Blache et. al, Sobre a intratabilidade aproximada do problema da largura de banda, 1997 confirma que não há PTAS para o problema, a menos que $\text{P} = \text{NP}$ , mesmo para árvores (binárias). Unger W, The Complexity of the Approximation of Bandwidth Problem, 1998 mostra que, para qualquer constante $k \in \mathbb{N}$ não há algoritmo de aproximação de tempo polinomial com um fator de aproximação de $k$ . Infelizmente, não há PTAS nem APX para o problema.

No entanto, para alguns tipos de gráficos, o problema pode ser resolvido ou aproximado em tempo polinomial. Para uma pesquisa recente, consulte Petit J., Adendos à Pesquisa de Problemas de Layout, 2011 . Na pesquisa, consulte as Tabelas 3, 4 e 8. A pesquisa também fornece uma boa lista de referências, se você quiser aprofundar em alguma direção. Esta é uma versão mais atualizada da pesquisa mais antiga de Diaz et al., A survey of Graph Layout Problems, 2002 .

Caso você também tenha interesse no algoritmo exato, acho que atualmente o mais rápido é dado por Cygan M. e Pilipczuk M., Even Faster Exact Bandwidth, 2012 . O algoritmo é executado no tempo .$O(4.83^n)$