Alternando reduções de lema e AC0 entre problemas de SAT

Houve algum esforço para mostrar (usando o Switching Lemma), por exemplo, que SAT ou 3SAT não podem ter uma redução de AC para 2SAT? Quais são os problemas ou dificuldades envolvidos? $^0$

SAT e 3SAT estão completos para NP e 2SAT está completo para NL sob reduções AC . Portanto, essa prova separaria NP de NL . $^0$

No caso de uma redução de 3SAT para 2SAT em AC , o ventilador inferior é limitado por 3 (pelo menos antes da primeira comutação). $^0$

complexity-theory satisfiability

— Martin Seymour
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muito interessante! mas não seguindo exatamente - isso também não seria quase uma prova de P ≠ L? que é muito aberto e considerado muito difícil. existe alguma lógica de comutação-lema em provas de limites monotônicos de circuito monótono iniciadas por Razborov e com muitos documentos de acompanhamento. incentivar uma discussão mais aprofundada em teoria bate-papo salão

— vzn

vzn, obrigado .. Seria um P

\neq

$\neq$ Prova L somente se P = NP e L = NL. Além disso, mostrando a impossibilidade de uma CA

^{0}

$^0$ a redução de HornSAT para 2SAT separaria P de NL (já que HornSAT está completo para P sob reduções de espaço de log).

— Martin Seymour

Não é verdade que o fan-in inferior esteja delimitado por 3 no caso do 3SAT. A redução AC <sup> 0 </sup> recebe como entrada uma codificação da fórmula 3SAT (de um tamanho específico). Caso contrário, pode ser um circuito arbitrário. Talvez você esteja interpretando mal o lema da troca.

— Yuval Filmus

Yuval - ok, eu entendo você agora sobre o fan-in inferior.

— Martin Seymour

Respostas:

É difícil ver como você usaria o fato de que o objetivo da redução é 2SAT em vez de, por exemplo, 3SAT.

A maneira comum de aplicar o lema de comutação é aproximadamente isso. Aplique uma restrição aleatória que corrija tudo, exceto um $\lambda$ fração das entradas, para algum pequeno parâmetro $\lambda$ que depende dos parâmetros (tamanho e profundidade) dos circuitos CA ⁰ em questão. Então, com probabilidade constante, a função calculada pelo circuito AC ⁰ se torna constante.

Aplicando isso no nosso caso, corrigimos tudo, exceto $\lambda n$ dos insumos e, em troca, alguns $\mu$ fração das saídas é fixa. E agora? Não sabemos nada sobre a redução, portanto não está claro como obter uma contradição. Além do mais, não vejo como você usaria o fato de que o problema-alvo é 2SAT em vez de, digamos, 3SAT; nesse caso, não pode haver contradição.

O lema de comutação é o melhor quando você tem uma função concreta em mente e deseja provar limites inferiores de AC ⁰ para essa função específica. Outro uso, menos típico, do lema de comutação é provar algumas propriedades gerais de qualquer função calculada por um circuito AC ⁰ . O exemplo mais famoso é Linial-Mansour-Nisan, que dá limites à taxa de decaimento do espectro de Fourier. Não está claro como você usaria informações como essa no seu caso.

— Yuval Filmus
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Yuval, você está absolutamente certo. Não podemos usar o fato de que o problema do alvo é 2SAT. O alvo sendo 2SAT ou 3SAT parece não fazer diferença. Decepcionante, mas parece que não podemos fazer muito.

— Martin Seymour

algum outro ângulo / ponto de vista sobre a sua pergunta, não levando isso em sentido estrito / literal. uma construção semelhante a um lemma de comutação "coincidentemente" foi encontrada no centro de uma prova célebre / muito avançada da teoria da complexidade, mostrando um limite inferior exponencial necessário para um problema semelhante ao SAT em circuitos monótonos, descoberto inicialmente por Razborov, que venceu o prêmio Nevanlinna para este ano atrás. no entanto, sua prova inicial não foi entendida como sendo dessa forma e levou muitos anos de reanálise em vários artigos para trazer essa conexão. esse esforço está resumido neste artigo: Complexidade monótona por Switching Lemma / Harnik, Raz. como citado em seu artigo, está ligado a uma reformulação de Berg e Ulfberg [BeUl97].

portanto, o lema de mudança e as reformulações continuam sendo uma área ativa de pesquisa e um "dispositivo" básico na separação de classes de complexidade e, portanto, provavelmente não seria aconselhável descartar completamente seu uso no futuro (importante? / significativo?) resultados de separação. sua pergunta também toca em P vs L, que também está aberta e é considerada por muitos possivelmente tão difícil quanto P vs NP (ambas as perguntas foram abertas quase na mesma quantidade de tempo, aproximadamente ~ 4 ½ décadas). no entanto, algumas limitações da técnica podem ser vistas na barreira de provas naturais identificada por Razborov / Rudich.

quanto ao 3SAT vs 2SAT, como você pergunta na sua pergunta, é claro que o 2SAT está em P e o 3SAT está em NP completo; portanto, qualquer "redução" significativa provavelmente também relacionaria P vs NP. Com base na sua ideia NP vs NL, existem outras áreas ativas de pesquisa que abordam a questão P vs NL, por exemplo, esta análise recente de Wehar, resultados de dureza para não-vazio por interseção

quanto às reduções de CA ⁰ e suas implicações para separações de classes de complexidade (aberta), existem algumas conexões observadas neste resultado recente: um teorema de hierarquia de profundidade de caso médio para circuitos booleanos / Rossman, Servedio, Tan (por exemplo, p5)

Pergunta de Meyer: Existe um mundo relativizado no qual a hierarquia polinomial é infinita?

... para responder afirmativamente à pergunta de Meyer, basta exibir, para cada constante d) $\mathbb{N}$ , uma função booleana F _d computável por um circuito dc ^{0 de} profundidade d , de modo que qualquer circuito d (1) de profundidade (d - 1) que computa F _d exija um tamanho super-quase-lipossinomial.

— vzn
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