Maximizar a distância entre k nós em um gráfico

Eu tenho um gráfico não ponderado não direcionado $G$ e eu quero selecionar $k$ nós de $G$de modo que eles estejam emparelhados o mais longe possível um do outro, em termos de distância geodésica . Em outras palavras, eles devem ser espalhados pelo gráfico quanto possível.

Deixei $d(u,v)$ ser o comprimento de um caminho mais curto entre $u$ e $v$ no $G$. Agora, para um conjunto de vértices$X \subseteq V(G)$, definir

Deixe o problema SET DISPERSO ser o problema que na entrada $G,k$ pede para encontrar um conjunto de $k$ vértices $X$ maximizando $d(X)$.

Existe um algoritmo eficiente para resolver o SCATTERED SET?

Não sei se existe um algoritmo de tempo polinomial (parece difícil para NP), mas aqui estão algumas abordagens algorítmicas plausíveis que você pode considerar, se precisar resolvê-lo na prática:

Heurística

Um algoritmo bem explorado é o Furthest Point First (FPF). A cada iteração, ele escolhe um ponto mais distante do conjunto de pontos selecionados até o momento. Iterar$k$vezes. Como esta é uma estratégia gananciosa, não há razão para esperar que ela dê uma resposta ótima ou até quase ótima, e foi projetada para otimizar uma função objetiva um pouco diferente ... mas, em alguns contextos, fornece uma aproximação razoável, portanto pode valer a pena tentar.

O FPF sai da literatura sobre clustering baseado em gráficos e foi introduzido no seguinte trabalho de pesquisa:

Teofilo F. Gonzalez. Clustering para minimizar a distância máxima do intercluster . Teorical Computer Science, vol. 38, pp.293-306, 1985.

Você pode tentar explorar a literatura sobre armazenamento em cluster baseado em gráficos para ver se alguém estudou seu problema específico.

Algoritmos exatos

Se você tem esse problema na prática e precisa de uma solução ideal exata, tente resolvê-lo usando um solucionador de ILP.

Aqui está como. Introduzir variáveis ​​0 ou 1$x_i$, Onde $x_i$ indica se o $i$o vértice foi selecionado e as variáveis ​​0 ou 1 $y_{i,j}$, com o significado pretendido de que $y_{i,j}=1$ somente se $x_i=1$ e $x_j=1$. Agora maximize a função objetivo$\sum_{i,j} d(i,j) y_{i,j}$, sujeito às restrições $\sum x_i \le k$ e $x_i \ge y_{i,j}$ e $x_j \ge y_{i,j}$. Agora resolva esse ILP com um solucionador de ILP pronto para uso. Como o ILP é difícil para o NP, não há garantia de que isso será eficiente, mas pode funcionar em algumas instâncias de problemas.

Outra abordagem é usar o MAX-SAT ponderado . Em particular, introduza variáveis ​​booleanas$x_i$, Onde $x_i$ é verdade se o $i$o vértice foi selecionado e as variáveis $y_{i,j}$. A fórmula é$\phi \land \land_{i,j} y_{i,j}$, Onde $\phi$ deve ser verdadeiro (suas cláusulas têm peso $W$ para alguns muito grandes $W$) e cada cláusula $y_{i,j}$ recebe peso $d(i,j)$. Defina a fórmula$\phi$ para ser verdade se no máximo $k$ do $x_i$são verdadeiras (veja aqui para obter detalhes sobre como fazer isso) e se$y_{i,j}=x_i \land x_j$ para todos $i,j$. Agora, a solução para esse problema MAX-SAT ponderado é a solução para o problema original, para que você possa tentar lançar um solucionador MAX-SAT ponderado no problema. As mesmas advertências se aplicam.

Não, o problema é NP-completo.

Deixei $(G,k)$ser uma instância do INDEPENDENT SET. Construir$G'$ adicionando um vértice universal $u$ para $G$. A observação crucial é que a distância entre dois vértices na$G$ é 1 em $G'$ se e somente se eles são adjacentes em $G$e 2 caso contrário.

Agora, a solução ideal do SCATTERED SET na entrada $(G',k)$ é $2\binom{k}{2}$se e somente se tiver um conjunto independente de tamanho .$G$$k$