Minimize autômatos finitos determinísticos sem estados de aceitação

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Eu tenho um autômato finito sem estados finais / de aceitação, então F está vazio. Como faço para minimizá-lo?

Fiz isso em um teste e não sabia como abordar o problema porque o autômato não tinha estados de aceitação. Um único estado inicial com todas as transições em si é a resposta correta?

automata finite-automata

— crs12decoder
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Sim. Algumas respostas são simples assim.

— Luke Mathieson

não é um transdutor então.

— Grijesh Chauhan

@GrijeshChauhan Onde na pergunta você encontrou o termo "transdutor"?

— Raphael

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Seu palpite está correto e você pode vê-lo um pouco mais formalmente, como segue. Seja como um DFA. A congruência Nerode em é definida da seguinte forma: O conjunto de estados do autômato mínimo de é . Agora, se é o conjunto vazio, todos os estados de são equivalentes e, portanto, possui apenas um elemento, digamos . Você não tem escolha para as transições e, portanto, $\mathcal{A} = (Q, A, \cdot, q_0, F)$ $\sim$ $Q$

p \sim q if and only if, for every word u \in A^{*}, p \cdot u \in F ⟺ q \cdot u \in F

$p \sim q \text{ if and only if, for every word $u \in A^*$, }\ p \cdot u \in F \iff q \cdot u \in F$

A

$\mathcal{A}$

Q / \sim

$Q/{\sim}$

F

$F$

Q

$Q$

\sim

$\sim$

Q / \sim

$Q/{\sim}$

Q / \sim = {1}

$Q/{\sim} = \{1\}$

1 \cdot a = 1

$1 \cdot a = 1$ para cada letra . Finalmente é o estado inicial, mas não há estado final.

a

$a$

1

$1$

— J.-E. PIN
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Não há absolutamente nenhuma necessidade de usar a congruência de Nerode para provar que um autômato de um estado é mínimo para a linguagem vazia. É bastante formal dizer que um autômato sem estados aceitantes aceita

\emptyset

$\emptyset$ e que um autômato de um estado que aceita um idioma específico deve ser mínimo, pois todo autômato deve ter pelo menos um estado.

— precisa saber é o seguinte

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@ David-Richherby Eu sei perfeitamente isso. Eu acabei de mencionar que esse resultado corresponde à definição padrão que é dada nos cursos padrão.

— J.-E.

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Um autômato finito sem estados finais denota a linguagem L = $\emptyset$ . Para minimizar um DFA, minimizamos o número de estados e o idioma indicado deve ser o mesmo. Por definição do DFA, devemos ter um estado inicial $q_0$ tão $| Q | \geq 1$ e como você diz, precisamos incluir a função de transição em toda a transição para $q_0$ (porque criar estados mortos é contraproducente).

— Renato Sanhueza
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