Quão difícil é contar o número de caminhos simples entre dois nós em um gráfico direcionado?

Existe um algoritmo polinomial fácil para decidir se existe um caminho entre dois nós em um gráfico direcionado (basta fazer uma travessia rotineira de um gráfico com, digamos, a primeira pesquisa de profundidade).

No entanto, parece que, surpreendentemente, o problema fica muito mais difícil se, em vez de testar a existência, queremos contar o número de caminhos.

Se permitirmos que os caminhos reutilizem os vértices, existe uma solução de programação dinâmica para encontrar o número de caminhos de s a t com n arestas. No entanto, se permitirmos apenas caminhos simples, que não reutilizem vértices, a única solução que posso pensar é a enumeração de caminhos por força bruta , algo que tem complexidade de tempo exponencial.

Então eu pergunto,

Contar o número de caminhos simples entre dois vértices é difícil?
Se sim, é um tipo de NP completo? (Eu digo mais ou menos porque tecnicamente não é um problema de decisão ...)
Existem outros problemas em P que também possuem versões difíceis de contagem assim? **

algorithms complexity-theory graph-theory

— hugomg
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BTW, eu realmente sei a resposta para esta pergunta agora, mas estou curioso para saber que tipo de resposta eu receberia se perguntasse de volta na primeira vez que a encontrei.

— 23412 hugomg

stackoverflow.com/questions/713508/…

— Suresh

@ Suresh: Eu sei como codificar a busca por força bruta. Minha pergunta é se existe um algoritmo mais eficiente. De qualquer forma, essa pergunta do SO seria mais semelhante e até inclui uma resposta minha, se você estiver interessado em spoilers.

— 23912 hugomg

A classe de complexidade mais comum associada aos problemas de contagem é #P . Decidir se existe um caminho simples de um nó para outro está claramente no NP. Contá-los é então em #P.

Sobre a completude do NP: mesmo que isso não seja um problema de decisão, dificilmente caberia ao NP: pode havercaminhos e o não-determinismo não o ajudam nisso (você ainda precisará verificar todos eles) $n!$

A resposta para suas duas primeiras duas perguntas é: sim, é difícil, é # P-complete (ref) .

O artigo da Wikipedia fornece fatos pertinentes: 1) algoritmos probabilísticos são úteis para aproximar as funções # P-complete, e esse é o tipo de algoritmo usado para a aproximação no artigo anterior. 2) Há outros problemas fáceis nas versões de contagem difícil (# P-complete):

encontrar (linear) vs. contar todas as atribuições que satisfazem uma fórmula DNF ou uma instância de 2-SAT
encontrar (linear) vs. contar classificações topológicas
achado (O (VE)) vs. contagem perfeita de correspondência em gráficos bipartidos

Você já sabe que, se você remover a restrição "caminho simples", o problema cai em P (bem, você deve limitar o comprimento dos caminhos por um polinômio do tamanho do gráfico ou fornecer o limite como unário)

— jmad
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