O 2-SAT com relações XOR NP está completo?

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Gostaria de saber se existe um algoritmo polinomial para "2-SAT com relações XOR". O 2-SAT e o XOR-SAT estão em P, mas é sua combinação?

Exemplo de entrada:

Parte 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
Parte XOR: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

Em outras palavras, a entrada é a seguinte fórmula booleana:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Saída de exemplo: Satisfazível: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

O número de cláusulas 2-SAT e o número de cláusulas XOR na entrada são , onde é o número de variáveis booleanas. $O(n)$ $n$

— Albert Hendriks
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este problema é bastante próximo, XOR bit a bit de vetores para igualar um vector alvo , cstheory.se

— vzn

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As relações 2-SAT com XOR podem ser comprovadas como NP-completas através da redução de 3-SAT. Qualquer cláusula 3-SAT pode ser reescrita para o equisatisfiable 2-SAT-com-XOR-relações expressão com e como novas variáveis.

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Kyle Jones
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Todas as respostas parecem estar corretas ou ajudando, mas achei a mais elegante (imho).

— Albert Hendriks

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Boa resposta. Vale ressaltar que a mera equisatisfação não seria suficiente aqui (uma vez que as atribuições satisfatórias das expressões correspondentes a todas as cláusulas de uma CNF satisfatória podem não corresponder), mas sua expressão reescrita realmente possui uma atribuição satisfatória correspondente para cada atribuição satisfatória de a cláusula original.

— Klaus Draeger

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Você não especificou a aridade de suas relações XOR, mas, como na redução usual de SAT para 3SAT, sempre é possível organizar a aridade deles no máximo 3. Agora você está em ótima posição para aplicar o teorema da dicotomia de Schaefer , que informe se o seu problema está em P ou NP-complete (estas são as duas únicas opções). Se estiver em P, o próximo passo pode ser observar Allender et al. , que permitirá que você saiba como é fácil o seu problema.

— Yuval Filmus
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O (n)

$O(n)$

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Pelo teorema da dicotomia de Schaefer , isso é NP-completo.

$\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Agora aplique o teorema da dicotomia de Schaefer, em sua forma moderna . Verifique cada uma das seis operações para ver se elas são um polimorfismo:

$x \lor y$
$\neg x \lor \neg y$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
$x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Daqui resulta que esse problema é NP-completo, mesmo que você restrinja todas as cláusulas XOR a um comprimento máximo de 3.

$(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
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