Por que o teorema de Schaefer não prova que P = NP?

Esta é provavelmente uma pergunta estúpida, mas eu simplesmente não entendo. Em outra questão, eles apresentaram o teorema da dicotomia de Schaefer . Para mim, parece que prova que todo problema de CSP está em P ou em NP-complete, mas não no meio. Como todo problema de NP pode ser transformado no tempo polinomial em CSP (porque o CSP é NP-completo), por que isso não prova que não há espaço entre P e NP-Completo e, portanto, P = NP?

Por exemplo, na minha opinião, a fatoração inteira pode ser reescrita como um problema de satisfação; portanto, usando o teorema de Schaefer, ele deve estar em P ou NP-completo, mas não no meio (mesmo que não possamos descobrir qual é).

Uma maneira diferente de analisar toda a questão: Por que não podemos usar o teorema de Schaefer para decidir se a fatoração inteira está em P ou em NP-completo?

EDIT: em resposta à resposta de David Richerby (é muito longo para um comentário):

Interessante, mas ainda não entendo completamente. Ao definir o conjunto de relações gama enquanto usamos o teorema de Schaefer, podemos impor restrições a ele. Por exemplo, podemos restringir a gama a usar apenas relações da aridade 2 (o problema está em P). Que tipo de restrições podemos impor à gama?

Por que não podemos impor tais restrições que todas as instâncias de CSP (gama) são exatamente as mesmas que (isomórficas para?) L? Por exemplo, ao transacionar a fatoração inteira para números desiguais, um dos dois divisores é binário representado como xn .. x3 x2 1. Agora, quero que esse número seja maior que 1. Portanto, tenho a relação (xn ou .. ou x3 ou x2). Então, eu digo que gama pode ter uma relação de aridade n-1. Mas eu não quero que essa relação-ou seja usada para incluir outras instâncias além de L na linguagem, além disso, imponho que x2..xn na relação-ou não tenha negação. Claro, eu também preciso impor a restrição de que apenas variáveis ​​específicas sejam usadas lá.

Não é possível, dessa maneira, permitir que o CSP (gama) seja isomórfico à fatoração de número inteiro? A principal questão é: que tipo de restrições podemos impor à gama?

EDIT 2: em resposta à resposta de Yuval Filmus.

Entendo sua resposta e ela parece correta, embora aproximadamente a mesma que a resposta de Davi. Por exemplo, podemos reduzir a fatoração para 3-sat e, em seguida, concluir que a fatoração está NP completa, o que está errado porque o 3-sat possui outras instâncias que provavelmente não são fatoração.

A parte que eu não entendo é quando uma instância é (não) arbitrária. Por exemplo, o 2-SAT também me parece não arbitrário, porque apenas são permitidas cláusulas da aridade 2 (embora eu deva admitir que a prova ainda é válida porque é um limite superior e, nesse caso, o limite superior é P).

Talvez um exemplo melhor seja o de NP-completeness: a questão vinculada acima. Um respondente dá uma prova completa de Schaefer. Mas eu imponho restrições não triviais à entrada (cláusulas 2-SAT são permitidas e cláusulas xor, mas nada mais). Obviamente, a prova ainda é válida porque os problemas de CSP considerados na prova são exatamente os mesmos que o original.

A parte que eu não entendo é por que não podemos fazer o mesmo para fatoração? É claro que não adianta reduzi-lo para 3-SAT, mas permita-me fornecer a instância do CSP que fatora um número e somente um número (de 4 bits). (pule para END-OF-SKIP se achar que isso é possível).

Instância de fatoração.

ENTRADA:

(N =) (os 4 bits do número a ser fatorado) (M =) m 4 m 3 m 2 m 1 (os 4 bits do valor mínimo do primeiro divisor) $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

Agora, vamos transformar isso em uma instância do CSP

ENTRADA:
domínios unários para e para m 5 . . m 1 (representando que N e M são dados)$n_5..n_1$$m_5..m_1$

variáveis ​​com domínio {0,1}:
(D =) (o primeiro divisor) (E =) e 4 e 3 e 2 e 1 (o segundo divisor)$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

relações:

(representando E> 1)$e_4 \lor e_3 \lor e_2$

(que representa D> H)$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$

(representando multiplicação bit menos significativo), ( d 1 ∧ e 2 ) ⊕ ( d 2 ∧ e 1 ) = n 2 (representando a multiplicação de bits seguinte) n 3 = . . . ; n 4 = . . $d_1 \land e_1 = n_1$
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

FIM DE SALTO

O ponto crucial é que, ao aplicar o teorema de Schaefer, devemos considerar apenas esses CSPs . (Assim como no 2-SAT, consideramos apenas CSPs com arity 2). Ao fazer isso, um dos seis polimorfismos se mantém ou não (exceto algumas peculiaridades na teoria dos conjuntos). Em ambos os casos, a fatoração não é NP intermediária.

Isso também pode ser feito para o 3-SAT. Então, devemos considerar apenas (usando a redução) instâncias 3-SAT que representam instâncias de fatoração (que não são mais 3-SAT).

Onde eu errei?

$L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$$L$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$