Em que sentido o conjunto de Mandelbrot é “computável”?

O conjunto de Mandelbrot é uma bela criatura em matemática.

Existem muitas imagens bonitas desse conjunto criadas com alta precisão, portanto, obviamente, esse conjunto é "computável" em algum sentido.

No entanto, o que me preocupa é o fato de que nem sequer é recursivamente enumerável - simplesmente porque o conjunto é incontável. Isso pode ser resolvido exigindo algum tipo de representação finita dos pontos.

Além disso, embora tenhamos certeza de que muitos pontos pertencem ao conjunto e outros não, também existem muitos pontos cuja participação no conjunto não sabemos. Todas as imagens que vimos até agora podem incluir muitos pontos que "até n iterações são mantidas encadernadas", mas esses pontos podem não pertencer ao conjunto.

Portanto, para um determinado ponto com uma apresentação finita, o problema "Este ponto pertence ao conjunto?" ainda não foi provado ser decidível, se eu estiver certo.

Agora, em que sentido (por qual definição) podemos dizer que o conjunto de Mandelbrot é "computável"?

computability

— Earth Engine
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"No entanto, o que me preocupa é o fato de que nem sequer é recursivamente enumerável - simplesmente porque o conjunto é incontável". - isso provavelmente não deveria ser o que lhe preocupa. Afinal, toneladas de conjuntos de pontos realmente simples em são incontáveis. , por exemplo.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— User2357112 suporta Monica

Respostas:

Existem várias maneiras de definir o que significa que o conjunto de Mandelbrot seja computável. Uma definição possível é o modelo de Blum-Shub-Smale. Nesse modelo, a computação real é modelada por uma máquina semelhante a uma máquina de RAM, cujo acesso a números reais é restrito a aritmética básica e comparações. Blum e Smale mostraram que o conjunto de Mandelbrot é incontestável neste modelo, embora seu complemento possa ser recursivamente enumerado usando o algoritmo tradicional usado para desenhá-los.

Outro modelo é a análise computável , na qual o conjunto de Mandelbrot é provavelmente computável, como mostra Hertling (condicional a uma conjectura amplamente aceita, a conjectura de hiperbolicidade). Nesse modelo, computar o conjunto de Mandelbrot significa poder calcular uma aproximação ao conjunto de Mandelbrot, dentro de qualquer precisão desejada (para obter a definição exata, consulte a referência em análise computável).

Por que, então, o computador parece capaz de desenhar o conjunto de Mandelbrot? A principal dificuldade em mostrar que o algoritmo tradicional funciona é que é difícil dizer com antecedência quantas iterações executar antes de decidirmos que o ponto pertence ao conjunto. Hertling mostra que, se a conjectura de hiperbolicidade amplamente aceita se mantém, então existe um limite razoável. Presumivelmente, os programas simplesmente esperam o suficiente; ou eles não esperam o suficiente, mas apenas erram uma pequena fração dos pontos.

— Yuval Filmus
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Eu dei uma olhada nos dois modelos, mas ambos não são bons o suficiente para mim ... Como a melhor coisa ao lado de finito é compacta, e o conjunto de Mandelbrot é compacto, acho que deveria haver um modelo que afirme que é "compacto computável" de alguma forma. Para conjuntos como

, podemos dizer "computável localmente compacto".

R

$R$

— Earth Engine

Basicamente, o conjunto de Mandelbrot não é computável (tanto quanto sabemos). O fato de você ver imagens não significa que é computável. Essas imagens estão computando usando uma aproximação: se o processo executar mais do que um limite definido, como uma heurística, o código assume que nunca terminará. Essa heurística pode estar errada e, como resultado, essas imagens podem não ser 100% precisas. Em outras palavras, essas imagens não são uma imagem do "conjunto" de Mandelbrot; eles são aproximados ao conjunto de Mandelbrot.

— DW
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O fato de calcularmos apenas aproximações não é o problema, eu pensaria. A questão seria mais se essas aproximações convergem para algum limite que é o conjunto de Mandelbrot se você aumentar o tempo de computação. Eu te entendo mal?

— babou

@abou, por que esse seria o problema? Posso fornecer um algoritmo que é uma aproximação ao problema de Halting, ou seja, converge no limite para a solução correta para o problema de Halting - mas isso não é suficiente para considerarmos o problema de Halting computável. Eu não acho que você me entenda mal.

— DW

Eu devo estar confuso em algum lugar. Fiquei com a impressão de que objetos infinitos podem ser considerados computáveis se forem o limite de uma sequência infinita de objetos computáveis, com algumas condições específicas sobre como deve se comportar a convergência ao limite. Parece haver um buraco no meu entendimento.

— babou 18/05/2015

@babou, OK. Não duvido da sua memória / compreensão. Eu não tinha ouvido falar dessa noção de computabilidade, mas acredito em você.

— DW

Primeiro, você deve sempre duvidar da minha memória / entendimento. Muito do que é discutido aqui não está na minha área de (ex) perícia. Na verdade, meu entendimento se baseia no pouco que eu leio sobre o real computável, que entendi como computável com qualquer precisão necessária de maneira uniforme. Depois, há meu entendimento semântico mais antigo de estruturas infinitas como limites de estruturas finitas em conjuntos parcialmente ordenados, embora não tenha certeza de como os dois estão conectados.

— babou 19/05/2015