A regularidade de idiomas unários com palavras possui a soma de dois resp. três quadrados

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Penso nas línguas unárias , onde é um conjunto de todas as palavras cujo comprimento é a soma dos quadrados. Formalmente: É fácil mostrar que não é regular (por exemplo, com Pumping-Lemma). Além disso, sabemos que cada número natural é a soma de quatro quadrados, o que implica que para todas as línguas são regulares desde . $L_k$ $L_k$ $k$

L_{k} = {a^{n} ∣ n = \sum_{i = 1}^{k} {n_{i}}^{2}, n_{i} \in N_{0} (1 \leq i \leq k)}

$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$

L_{1} = {a^{n^{2}} ∣ n \in N_{0}}

$L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$

k \geq 4

$k\ge 4$

L_{k}

$L_k$

L_{k} = L (a^{*})

$L_k=L(a^*)$

Agora, estou interessado nos casos e : $k=2$ $k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , . $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Infelizmente, não sou capaz de mostrar se essas línguas são regulares ou não (mesmo com a ajuda do teorema dos três quadrados de Legendre ou do teorema de Fermat em somas de dois quadrados ).

Tenho certeza de que pelo menos não é regular, mas infelizmente o pensamento não é uma prova. Qualquer ajuda? $L_2$

formal-languages regular-languages

— Danny
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Talvez nossas perguntas de referência ( regulares , não regulares ) tenham indicadores úteis.

— Raphael

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Vamos começar com . Sabe-se que a densidade superior de números inteiros, que é a soma de dois quadrados, é 0. Se fosse regular, seria eventualmente periódica e, portanto, uma vez que sua densidade superior é 0, finita. Mas sabemos que existem inteiros arbitrariamente grandes em , de modo que não pode ser regular. $L_2$ $L_2$ $L_2$ $L_2$

Em relação a , considere as palavras . que para , as palavras são diferentes. De fato, enquanto . O critério Myhill – Nerode mostra então que é irregular. $L_3$ $w_k = 1^{4^k 7}$ $k < \ell$ $w_k,w_\ell$ $w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$ $L_3$

— Yuval Filmus
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Suponha que seja regular. O mesmo vale para o complemento, que pelo teorema de três quadrados de Legendre é . Pelo teorema de Parikh , isso implicaria que o conjunto de comprimentos é semi-linear, isto é, uma união finita dos conjuntos lineares . $L_3$ $\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$ $S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ $\bigcup_{i=1}^NS_i$ $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Considere dois elementos com e deixe . Se estiverem no mesmo , também será ou (dependendo de ou ). Mas $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ $k_1>k_2$ $r:=k_1-k_2$ $s_1,s_2$ $S_i$ $2s_1-s_2$ $2s_2-s_1$ $s_1<s_2$ $s_1>s_2$

$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ , onde , $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ , onde . $l'=2l_2-4^rl_1$

Nenhum deles está em , então teria que estar em diferentes membros do sindicato. Mas isso é impossível, pois é uma união finita e existem infinitamente muitos diferentes . $S$ $s_1,s_2$ $S$ $k$

Portanto, não é regular. $L_3$

— Klaus Draeger
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