Menor classe de modelo de autômatos cuja classe de linguagem correspondente contém CFL e é fechada contra (des) permitindo não-determinismo no modelo

De um comentário , uma pergunta interessante surgiu. A classe de CFLs (os idiomas reconhecidos pelos PDAs) obviamente não está fechada sob não-determinismo - o que quero dizer com isso é que os PDAs determinísticos não são equivalentes em poder aos PDAs não-determinísticos.

No entanto, todas as CFLs são decidíveis e, neste caso, qualquer MT determinística é equivalente em potência a uma MT não determinística.

Agora, essa é uma grande lacuna - qual é a menor linguagem "acima" das LFC que é fechada sob o não-determinismo?

A noção de um PDA pode ser generalizada para um$S(n)$ autômato de empilhamento auxiliar ($S(n)$-AuxPDA) . Isso consiste de

1. uma fita de entrada somente leitura, cercada por marcadores finais,
2. um controle de estado finito,
3. uma fita de armazenamento de leitura e gravação $S(n)$, Onde $n$ é o comprimento da sequência de entrada e
4. uma pilha

Em "Hopcroft / Ullman (1979) Introdução à Teoria dos Autômatos, Idiomas e Computação (1ª ed.) , Encontramos:

Teorema 14.1 A seguir, são equivalentes para$S(n)\geq\log n$.

1. $L$ é aceito por um determinista $S(n)$-AuxPDA
2. $L$ é aceito por um não-determinístico $S(n)$-AuxPDA
3. $L$ é em $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ por alguma constante $c$.

com o surpreendente:

Corolário $L$ é em $\mathsf P$ se e apenas se $L$ é aceito por um $\log n$-AuxPDA.

A prova consiste em três partes: (1) Se L for aceito por um não-determinístico $S(n)$-AuxPDA com $S(n)\geq \log n$, então $L$ é em $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ por alguma constante $c$. (2) se$L$ é em $\operatorname{DTIME}(T(n))$, então $L$ é aceito a tempo $T^4(n)$por uma TM determinística de uma fita com um padrão de varredura de cabeça para frente e para trás muito simples (independente da entrada). (3) se$L$ é aceito a tempo $T(n)$ por uma TM determinística de uma fita com um padrão de varredura de cabeça para frente e para trás muito simples (independente da entrada); $L$ é aceito por um determinista $\log T(n)$-AuxPDA.

A parte (1) é basicamente uma prova rigorosa de que o "problema de parada é decidível", onde o número de operações foi contabilizado minuciosamente. A parte (2) é a ideia criativa que prepara o palco para a parte (3). A Parte (3) usa o armazenamento auxiliar para rastrear o intervalo de tempo, o que permite reconstruir a posição da cabeça devido ao muito simples padrão de varredura de cabeça para frente e para trás, e a pilha para rastreamento de retorno recursivo.

A descrição acima é uma cópia de grandes partes de uma resposta a outra pergunta . Então, em que sentido ele responde à pergunta atual? Não é a menor classe imaginável que contém$\mathsf{CFL}$e é fechado sob não-determinismo. Mas é uma classe muito conhecida (ie$\mathsf P$) e um modelo de máquina natural, que foi estudado exaustivamente no passado e ainda é estudado hoje (com uma restrição de tempo de execução adicional) no contexto do LogCFL . De fato, o LogCFL também é fechado sob não-determinismo e está mais próximo do que$\mathsf P$ para $\mathsf{CFL}$, provando meu argumento de que o acima $\mathsf P$ = $\log n$-AuxPDA) não é a menor classe imaginável desse tipo.