Diferença entre semântica operacional de pequeno e grande passo

Qual é a diferença fundamental entre a semântica operacional de pequeno e grande passo?

Estou tendo dificuldade para entender o que é e a motivação para ter os dois.

A semântica de pequenas etapas define um método para avaliar expressões, uma etapa de computação por vez. Formalmente falando, uma semântica de pequeno passo para uma linguagem de expressão é uma relação → : E × E chamada de relação de redução . A semântica de pequenas etapas descreve o que acontece com uma expressão em detalhes. É capaz de fornecer uma descrição precisa de programas não termináveis, com uma cadeia infinita e 0 → e 1 → e 2 → … . Um programa de encerramento é aquele que e 0 → e 1 → ⋯ → $E$$\rightarrow : E \times E$$e_0 \to e_1 \to e_2 \to \dots$$e_0 \to e_1 \to \dots \to v$termina com um valor de tal modo que ∀ e ' ∈ E , v ↛ e ' . $v$$\forall e' \in E, v \not\rightarrow e'$$\newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]}$

No outro extremo do espectro está a semântica denotacional . A semântica denotacional atribui um "significado" a cada expressão. É uma função de expressões a denotações: ( é chamado de domínio). O espaço das denotações pode não ter relação com o espaço sintático, por exemplo, podem ser expressões avaliadas para um número e pode ser um conjunto de números como ou .D E D N $\llbracket \cdot \rrbracket : E \to D$$D$$E$$D$$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$

A semântica de grandes etapas está no meio. A grande passos semântica em uma linguagem de expressão e um conjunto de valores de é uma relação . Relaciona uma expressão ao seu valor (possivelmente vários valores se o idioma não for determinístico). Freqüentemente, um valor especial é usado para expressões que não terminam.V ⇓ : E × V $E$$V$$\Downarrow : E \times V$$\bot$

Então, por que temos essas três noções? Todas essas noções podem se modelar, mas o modelo adiciona um grau de complexidade.

• Dada uma semântica de passo pequeno , você pode definir uma semântica de passo grande correspondente que relaciona cada expressão ao seu valor (ou valores, se a redução não for determinística): e ⇓ v se existir uma cadeia e → e 1 → ⋯ → v e v não pode reduzir ainda mais. Observe que, em geral, você não pode reconstruir a semântica de pequenas etapas a partir da semântica de grandes etapas. Por exemplo, todas as expressões que não terminam são indistinguíveis na semântica de grandes etapas.$\to$$e \Downarrow v$$e \to e_1 \to \dots \to v$$v$
• Dado um grande passo-a semântica , você pode dizer que é um pequeno-passo semântica sobre E ∪ V . Isto não é particularmente útil.$\Downarrow : E \times V$$E \cup V$
• Dada uma semântica de pequena etapa , é possível definir uma semântica denotacional correspondente em que a denotação de uma expressão é o conjunto de cadeias de redução que começam a partir dela. Isso satisfaz a definição formal, mas não é particularmente útil, porque adiciona uma sobrecarga teórica definida a objetos que são mais fáceis de raciocinar olhando diretamente para a sintaxe.$\to$
• Dada uma semântica denotacional , você pode definir uma semântica de pequenas etapas adicionando todas as possíveis denotações como valores no idioma. Isso requer a criação de valores que não fazem parte da sintaxe que o programador pode escrever, o que significa que alguns resultados interessantes precisam indicar "para todos os programas que o programador pode escrever" em vez de "para todos os programas". Portanto, este também não é muito útil.$\llbracket \cdot \rrbracket$
• Dada uma semântica de passo grande , é possível definir uma semântica denotacional correspondente em que o domínio é o conjunto de conjuntos de valores: $\Downarrow$ . Se a semântica da etapa principal for determinística (cada expressão se reduz a um único valor), você pode definir uma semântica denotacional mais simples em que o domínio é o conjunto de valores.$\llbracket e \rrbracket = \{v \mid e \Downarrow v\}$
• Por outro lado, dada uma semântica denotacional , você pode definir uma semântica de grande passo E ⇓ $\llbracket \cdot \rrbracket$ . Novamente, este é um pouco inútil.$E \Downarrow \llbracket \cdot \rrbracket$

Operacionalmente falando, a semântica de pequenas etapas corresponde à observação de cada operação executada por um intérprete para o idioma. A semântica de grandes etapas apenas analisa o valor resultante. A semântica denotacional analisa uma interpretação matemática que pode ou não ter algo a ver com o que acontece em um computador.

A semântica em pequenos passos é a mais óbvia. Ele fornece claramente informações úteis sobre programas que não terminam. De maneira mais geral, fornece informações detalhadas sobre o comportamento do programa.

A semântica denotacional transforma construções sintáticas em objetos matemáticos arbitrários; ele pode expressar o que os cientistas desejam (você pode definir a denotação de uma expressão para ser todas as cadeias de redução possíveis), mas com o custo de adicionar um nível de complexidade. É usado quando queremos abstrair alguns detalhes, como exatamente como a expressão é avaliada.

A semântica de grandes etapas está no meio: abstrai os detalhes da avaliação, mas mantém a natureza sintática do resultado. Normalmente, o conceito é usado quando há uma semântica subjacente em pequenos passos, como uma maneira de expressar de forma concisa “ ”Como“ e ⇓ e $\exists (e_1, \dots, e_n), e \to e_1 \to \dots e_n \text{ and } \not\exists e', e_n \to e'$$e \Downarrow e_n$”. Em tais construções, enquanto os conceitos são muito diferentes (um permite falar sobre etapas de computação individuais e sobre programas não-termináveis, o outro não), as definições serão muito semelhantes, porque nesse caso as regras que definem o big-passo semântica são basicamente de forma “se e ... e n → * v e v é um valor, em seguida, e 1 ⇓ v ”.$e_1 \to^* e_2$$e_n \to^* v$$v$$e_1 \Downarrow v$