O corte mínimo poderia ser mais fácil do que o fluxo da rede?

Graças ao teorema min-cut de fluxo máximo, sabemos que podemos usar qualquer algoritmo para calcular um fluxo máximo em um gráfico de rede para calcular um -min-cut. Portanto, a complexidade de calcular um corte mínimo não é mais do que a complexidade de calcular um fluxo máximo . $(s,t)$ $(s,t)$ $(s,t)$

Poderia ser menos? Poderia haver um algoritmo para calcular um corte mínimo mais rápido do que qualquer algoritmo de fluxo máximo? $(s,t)$

Tentei encontrar uma redução para reduzir o problema de ) -max-flow para o problema de -min-cut, mas não consegui encontrar um. Meu primeiro pensamento foi usar um algoritmo de dividir e conquistar: primeiro encontre um min-cut, que separa o gráfico em duas partes; Agora encontre recursivamente um fluxo máximo para a parte esquerda e um fluxo máximo para a parte direita e combine-os com todas as arestas que cruzam o corte. Isso realmente funcionaria para produzir um fluxo máximo, mas seu pior caso de execução pode ser até vezes maior que o tempo de execução do algoritmo min-cut. Existe uma redução melhor? $(s,t$ $(s,t)$ $O(|V|)$

Percebo que o teorema do corte mínimo de fluxo máximo mostra que a complexidade de calcular o valor de um fluxo máximo é a mesma que a complexidade de calcular a capacidade de um corte mínimo, mas não é disso que estou perguntando. Estou perguntando sobre o problema de encontrar um fluxo máximo e um min-cut (explicitamente).

Isso está intimamente relacionado ao cálculo de um fluxo máximo a partir de um corte mínimo , exceto: (1) estou disposto a permitir reduções de Cook (reduções de Turing), não apenas reduções de Karp (reduções de uma a uma) e (2) talvez, dado , possamos encontrar algum gráfico modo que o min-cut de facilite a computação do fluxo máximo de , que é algo que está fora do escopo dessa outra questão. $G$ $G'$ $G'$ $G$

— DW
fonte

@AshkanKzme, não estou te seguindo; Você pode elaborar? Como afirmo no quarto parágrafo da pergunta, o teorema de corte mínimo de fluxo máximo mostra que o valor do fluxo máximo é igual à capacidade do min-cut. Eu suspeito que é isso que você está pensando. No entanto, conhecer o valor do fluxo máximo não informa o fluxo máximo em si (por exemplo, quanto enviar em cada borda específica). Esta pergunta está perguntando sobre a complexidade de calcular o fluxo máximo em si, em comparação com o cálculo do min-cut em si. Minha pergunta é exatamente como declarado no segundo parágrafo da pergunta.

— DW

@AshkanKzme, Não, não fiz suposições erradas. Você está assumindo implicitamente que Ford-Fulkerson é o algoritmo mais rápido possível para encontrar um min-cut ... mas, tanto quanto eu sei, ninguém jamais provou isso, e não sabemos se isso está correto ou não. Parece-me que você está cometendo o erro padrão de novato com provas de limite inferior: "Não consigo encontrar nenhuma maneira de resolver esse problema mais rapidamente, portanto deve ser impossível". (. PS Você está me dizendo coisas livro padrão sobre max-flow min-cut Eu aprecio sua tentativa de ajuda, mas eu já estou familiarizado com isso ...)

— DW

No que diz respeito à sua afirmação "Eu acho que pode ser provado que, se você tiver apenas o min-cut, poderá obter o fluxo máximo", bem, encorajo você a escrever uma resposta com a prova disso - porque é basicamente isso minha pergunta está perguntando. Eu nunca vi uma prova disso, mas se você tiver, espero que você a escreva!

— DW

@ DW Acho que estou melhorando a pergunta agora. Eu acho que fiquei impressionado com o fato de você dar uma redução de turbulência polinomial. Você não precisaria de uma redução constante de turing para provar

f (n) = Θ (g (n))

$f(n) = \Theta(g(n))$ , mesmo que provar que não há essa redução possível não a refute?

— 9788 Thomas Thomson

@ThomasBosman, sim, está correto. [Desculpe por te confundir. A redução que dei na pergunta prova que

, que é um limite inferior muito fraco. Espero que possa haver uma redução que prove que

, mas não sei como construir uma coisa dessas.]

f (n) = Ω (g (n) / n)

$f(n) = \Omega(g(n)/n)$

f (n) = Ω (g (n))

$f(n) = \Omega(g(n))$

— DW

-1

Aqui está uma abordagem possível:

Suponha que você conheça o corte S e, em seguida, encontrar o fluxo de para é um problema de fluxo de rede de custo mínimo com custo zero, pois você sabe exatamente o fluxo de saída em cada vértice em e a entrada em . Suponha que denota um fluxo e a matriz arco-nó (ou seja, a linha , col tem 1 se é a cauda de , -1 se é a cabeça, zero caso contrário), e seja que se $S$ $t$ $V\setminus S$ $t$ $f$ $S-t$ $A$ $i$ $j$ $i$ $j$ $b$ $Af = b$ $f$ satisfaz a oferta / demanda e a conservação do fluxo. Então, com a eliminação gaussiana, podemos encontrar uma solução viável em operações. $|V|^3$

Para encontrar um corte de um fluxo, precisamos construir o gráfico residual que leva no máximo tempo e, potencialmente, atravessar $|E|$ vértices. $|V|$

Portanto, para gráficos completos e o corte mínimo sendo apenas a fonte ou apenas o coletor, a redução leva tempo igual nas duas direções, no pior caso. No entanto, eu acho que encontrar uma solução viável para pode ser feito mais rapidamente do que dada a estrutura especial. Não tenho certeza de como provar isso. $Af =b$ $|V|^3$

— Thomas Bosman
fonte

Não entendo como encontrar

usando a eliminação gaussiana. Nós temos

equações lineares em

desconhecidos. Geralmente

, portanto, não teremos equações suficientes para determinar exclusivamente as incógnitas. Existe um truque que estou ignorando?

f

$f$

| V |

$|V|$

| E |

$|E|$

| E | > | V |

$|E|>|V|$

— DW

Também não sou especialista nisso, por isso posso estar errado. Mas o fato de não haver uma solução única parece facilitar. Se você reduzi-lo à forma reduzida de escalão, você possui

colunas independentes. Então a solução exclusiva dessa submatriz

, combinada com fluxo zero para todas as outras colunas, produziria uma solução não exclusiva, que não é um problema em si. O problema que se pode prever é que

viola as restrições de capacidade, mas intuitivamente eu diria que há uma maneira de contornar isso diretamente

| V |

$|V|$

b

$b$

f

$f$

— Thomas Bosman

Sim, as restrições de capacidade parecem ser o principal desafio. Caso contrário, resolver o sistema de equações lineares pode fornecer uma solução que satisfaça

mas não é um fluxo válido, pois viola as restrições de capacidade.

A f = b

$Af=b$

— DW

Merda, isso mesmo. Você pode adicionar as restrições (superior e inferior), que você sabe que têm uma solução, mas então | V | +2 | E | linhas, de modo que seria mais lento do que apenas calcular o fluxo máximo diretamente.

— Thomas Bosman

O outro problema é que as restrições de capacidade são desigualdades (e não igualdades), então você não pode usar a eliminação gaussiana: seria necessário usar programação linear, que, como você diz, não parece ser mais rápida do que apenas calcular o fluxo máximo diretamente.

— DW