O XOR-SAT NP é pesado?

Dado $n$ variáveis booleanas $x_1,\ldots,x_n$ cada um dos quais recebe um custo positivo $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{Z}_{>0}$ e uma função booleana $f$ nessas variáveis dadas na forma

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = ⋀_{i = 1}^{k} ⨁_{j = 1}^{l_{i}} x_{r_{i j}}

$f(x_1,\ldots,x_n)=\bigwedge_{i=1}^k\bigoplus_{j=1}^{l_i}x_{r_{ij}}$ (

\oplus

$\oplus$ denotando XOR) com

k \in Z_{> 0}

$k\in\mathbb{Z}_{>0}$ inteiros

1 \leq l_{i} \leq n

$1\leq l_i\leq n$ e

1 \leq r_{i 1} < \dots < r_{i l_{i}} \leq n

$1\leq r_{i1}<\cdots<r_{il_i}\leq n$ para todos

i = 1, \dots, k

$i=1,\ldots,k$ ,

j = 1, \dots, l_{i}

$j=1,\ldots,l_i$ , o problema é encontrar uma atribuição de custo mínimo para

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$ isso satisfaz

f

$f$ , se essa atribuição existir. O custo de uma tarefa é simplesmente dado por

\sum_{\begin{matrix} i \in {1, \dots, n} \\ x_{i} true \end{matrix}} c_{i} .

$\sum_{\substack{i\in\{1,\ldots,n\}\\x_i\,\text{true}}}c_i.$ Esse problema é NP-difícil, ou seja, é o problema de decisão que o acompanha "Existe uma atribuição satisfatória de custo no máximo com algum valor

K

$K$ "NP-difícil?

Agora, o problema XOR-SAT padrão está em P, pois mapeia diretamente a questão da solvabilidade de um sistema de equações lineares sobre $\mathbb{F}_2$ (consulte, por exemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem#XOR-satisfiability ). O resultado desta solução (se existir) é um subespaço afim de $\mathbb{F}_2^n$ . O problema é assim reduzido para escolher o elemento correspondente com custo mínimo desse subespaço. Infelizmente, esse subespaço pode ser bastante grande e, de fato, reescrever $f$ em binário $k\times n$ -matrix, com um $1$ para cada $x_{r_{ij}}$ no $i$ -a linha e o $r_{ij}$ -th coluna, e zero caso contrário, temos um problema de minimização de custos sujeito a

A x = 1,

$Ax=1,$ Onde

A

$A$ é dito matriz,

x

$x$ é o vetor da coluna que consiste no

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$ e

1

$1$ é o vetor todo-1. Esta é uma instância de um problema de programação linear binária, conhecido como NP-hard em geral. Portanto, a questão é: também é NP-difícil neste caso específico?

— Alexander Klauer
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Um resultado clássico de Berlekamp, McEliece e van Tilborg mostra que o seguinte problema, decodificação de máxima probabilidade, é NP-completo: dada uma matriz $A$ e um vetor $b$ sobre $\mathbb{F}_2$ e um número inteiro $w$ , determine se existe uma solução para $Ax = b$ com peso de Hamming no máximo $w$ .

Você pode reduzir esse problema ao seu problema. O sistema $Ax = b$ é equivalente à conjunção de equações da forma $x_{i_1} \oplus \cdots \oplus x_{i_m} = \beta$ . E se $\beta = 1$ , essa equação já está na forma correta. E se $\beta = 0$ então nós XOR uma variável extra $y$ para o lado direito e forçamos essa variável a ser $1$ adicionando uma equação extra $y = 1$ . Definimos os pesos da seguinte maneira: $y$ tem peso $0$ , e as $x_1$ tem peso $1$ . Chegamos agora a uma formulação equivalente de decodificação de máxima probabilidade, que é uma instância do seu problema.

— Yuval Filmus
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