Quando a concatenação de dois idiomas regulares é inequívoca?

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Dadas as línguas e , digamos que sua concatenação seja inequívoca se, para todas as palavras , houver exatamente uma decomposição com e e ambígua caso contrário. (Não sei se existe um termo estabelecido para essa propriedade - coisa difícil de procurar!) Como um exemplo trivial, a concatenação de consigo mesma é ambígua ( ), mas a concatenação de consigo mesma é inequívoca. $A$ $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

Existe um algoritmo para decidir se a concatenação de duas linguagens regulares é inequívoca?

— rstern
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Gah, isso é totalmente um problema de calouro, não é? Honestamente, não tentei muito; Eu esperava que houvesse um algoritmo estabelecido para isso em algum lugar da literatura e não tivesse que reinventar a roda. Estou escrevendo software aqui; Eu fiz apenas alguns cursos de CS (há vários anos), então estou basicamente começando na Wikipedia. Sei que ninguém gosta de alguém que não quer trabalhar para obter a resposta, então, se houver um livro ou um trabalho ou algo que você possa me apontar, em vez de apenas me entregar um algoritmo, isso seria útil! Obrigado!

— 28915 rstern

Eu adicionei isso como um comentário, porque, bem, é um tópico relativamente estranho, mas talvez possa levar você a alguma ajuda. O Unicode Consortium possui alguns processos para determinar a semelhança entre os idiomas. Eu li um link muito informativo no site deles, mas por minha vida não consegui encontrá-lo hoje para fazer disso uma resposta. Se você tiver tempo para pesquisar isso, aqui está a página de perguntas mais frequentes unicode.org/faq

— htm11h 30/07/2015

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Dica: Dado AFDs para e , construir um AFN que aceita palavras possuindo pelo menos dois diferentes decomposições. O NFA mantém um registo de duas vias de NFA padrão para (formada pela junção AFDs para e com transições), assegurando que a passagem de para acontece em dois pontos diferentes. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Yuval Filmus
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Obrigado pela dica! Então, se eu entendi, eu posso construir um NFA para palavras ambíguas em

e, em seguida, testar se autômato para o vazio. A parte complicada parece ser "garantir que a mudança de

para

aconteça em dois pontos diferentes". Eu não tenho certeza de como fazer isso à excepção de tomar o produto cruzado (?) De dois

DFAs e exclusão de toda a (

-terminal,

handwaving -terminal) produtos estados-eu estou, eu estou preocupado que a transição de

NFA para

DFA iria estragar a idéia de

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -terminal. Parece, porém, ineficiente; existe um algoritmo conhecido adequado para software?

— 28915 rstern

Sim, não parece muito eficiente, embora sempre exista a opção de fazê-lo de maneira inteligente. Não conheço nenhum algoritmo específico para esse problema, mas um pode existir.

— Yuval Filmus

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Atualizado (graças a Yuval Filmus).

Dado dois idiomas e de , deixe $X$ $Y$ $A^*$ eu afirmam queé inequívoca se e apenas se o idiomaestá vazia.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

Prova . Suponha que seja ambíguo. Em seguida, existe uma palavra que tem dois decomposições sobre , dizer , em que e . Sem perda de generalidade, podemos assumir que é um prefixo de , ou seja, $XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ para alguns . Segue que , de onde . Assim . $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

Suponha agora que contenha alguma palavra não vazia . Então existem e tal que e . Segue que $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ $z$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_2 = x_1z$ $y_2 = zy_1$ e, portanto, o produto é ambíguo. $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ $XY$

Se e são regulares, então e são regulares e, portanto, também é regular (consulte a resposta de Yuval para um autômato que aceita esse idioma). $X$ $Y$ $X^{-1}X$ $YY^{-1}$ $X^{-1}X \cap YY^{-1}$

— J.-E. PIN
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z

$z$

Opa. Eu atualizo.

— J.-E.