Quais são os exemplos mais simples de programas que não sabemos se eles terminam?

O problema de parada afirma que não há algoritmo que determine se um determinado programa é interrompido. Como conseqüência, deve haver programas sobre os quais não podemos dizer se eles terminam ou não. Quais são os exemplos mais simples (menores) conhecidos de tais programas?

Um exemplo bastante simples pode ser um programa testando a conjectura de Collatz :

Sabe- se que para até pelo menos , mas em geral é um problema em aberto.$n$$5 × 2^{60} ≈ 5.764 × 10^{18}$

O problema de parada afirma que não há algoritmo que determine se um determinado programa é interrompido. Como conseqüência, deve haver programas sobre os quais não podemos dizer se eles terminam ou não.

"Nós" não é um algoritmo =) Não existe um algoritmo geral que possa determinar se um determinado programa é interrompido para cada programa .

Quais são os exemplos mais simples (menores) conhecidos de tais programas?

Considere o seguinte programa:

n = 3
while true:
    if is_perfect(n):
            halt()
    n = n + 2

A função is_perfect verifica se n é um número perfeito . Não se sabe se existem números perfeitos ímpares, por isso não sabemos se este programa é interrompido ou não.

Você escreve:

O problema de parada afirma que não há algoritmo que determine se um determinado programa é interrompido. Como conseqüência, deve haver programas sobre os quais não podemos dizer se eles terminam ou não.

Este é um não sequitur, em ambas as direções. Você sucumbe a uma falácia comum que vale a pena abordar.

Dado qualquer programa fixo , seu problema de parada (" sempre pára?") É sempre decidível, porque a resposta é "sim" ou "não". Mesmo que você não saiba qual é, você sabe que um dos dois algoritmos triviais que respondem sempre "sim" resp. "no" resolve o problema de asfalto- .P $P$$P$$P$

Somente se você exigir que o algoritmo resolva o problema de parada para todos os programas você poderá mostrar que esse algoritmo não pode existir.

Agora, saber que o problema da parada é indecidível não implica que existam programas dos quais ninguém possa provar o término ou o loop. Mesmo se você não for mais poderoso que uma máquina de Turing (que é apenas uma hipótese, não um fato comprovado), tudo o que sabemos é que nenhum algoritmo / pessoa pode fornecer essa prova para todos os programas. Pode haver uma pessoa diferente sendo capaz de decidir para cada programa.

Algumas leituras mais relacionadas:

• Como é possível decidir se possui alguma sequência de dígitos?$\pi$
• Poder da computação humana: os humanos podem decidir o problema das máquinas de Turing?
• Algoritmo para resolver o "problema de parada" de Turing
• Síntese do programa, decidibilidade e o problema da parada
• É possível resolver o problema de parada se você tiver uma entrada restrita ou previsível?
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Portanto, você vê que sua pergunta real (conforme repetida abaixo) não tem nada a ver com se o problema da parada é computável. Em absoluto.

Quais são os exemplos mais simples (menores) conhecidos de [programas que não sabemos interromper ou repetir]?

Isso por si só é uma pergunta válida; outros deram boas respostas. Basicamente, você pode transformar cada declaração com valor de verdade desconhecido em um exemplo, desde que ele tenha um valor de verdade:$S$

$\qquad\displaystyle g(n) = \begin{cases}1, &S \text{ true},\\ g(n+1), &\text{else}.\end{cases}$

Concedido, estes não são muito "naturais".

1. Não necessariamente todos , mas "muitos" em algum sentido. Infinitamente muitos, pelo menos.

Qualquer problema em aberto referente à existência de um número com propriedades particulares dá origem a esse programa (aquele que procura por esse número). Por exemplo, considere a conjectura de Collatz; como não sabemos se é verdade, também não sabemos se o seguinte programa termina:

    n:=1;
    found:=false;
    while not found do
      s:={};
      i:=n;
      while i not in s do
        add i to s;
        if i even then i:=i/2 else i:=3i+1
      if 1 not in s then found:=true;
      n:=n+1  

Dado que o problema do Busy Beaver não foi resolvido para uma máquina de Turing com 5 estados e 2 símbolos, deve haver uma máquina de Turing com apenas cinco estados e apenas dois símbolos que não foram mostrados para parar ou não quando iniciados para uma fita vazia . Esse é um programa muito curto, conciso e fechado.

a pergunta é complicada porque a decidibilidade (a formalização / generalização equivalente ao CS do problema de interrupção) está associada aos idiomas; portanto, ela precisa ser reformulada nesse formato. isso parece não ser muito apontado, mas muitos problemas abertos em matemática / CS podem ser facilmente convertidos em problemas (idiomas) de decidibilidade desconhecida. isto é devido a uma correspondência estreita entre prova de teoremas e análise de (in) decidibilidade. por exemplo (um pouco como a outra resposta em números ímpares perfeitos), considere a conjectura de primos gêmeos que data dos gregos (mais de 2 milênios atrás) e está sujeita a importantes avanços recentes de pesquisa, por exemplo, de Zhang / Tao. converta-o em um problema algorítmico da seguinte maneira:

Entrada: n . Saída: S / N, existem pelo menos n primos gêmeos.

o algoritmo procura primos gêmeos e pára se encontrar n deles. não se sabe se esse idioma é decidível. a resolução do problema dos primos gêmeos (que pergunta se existe um número finito ou infinito) também resolveria a decidibilidade dessa linguagem (se também for comprovado / descoberto quantos existem, se finitos).

outro exemplo, pegue a hipótese de Riemann e considere esta linguagem:

Entrada: n . Saída: S / N existem pelo menos n zeros não triviais da função zie de Riemann.

o algoritmo procura por zeros não triviais (o código não é especialmente complexo, é semelhante à descoberta de raízes e existem outras formulações equivalentes que são relativamente simples, que basicamente calculam somas de "paridade" de todos os números primos menores que x etc) e param se encontra n deles e, novamente, não se sabe se essa linguagem é decidível e a resolução é "quase" equivalente a resolver a conjectura de Riemann.

agora, que tal um exemplo ainda mais espetacular? ( ressalva, provavelmente mais controversa também)

Entrada: c: Saída: S / N existe um algoritmo O (n ^c ) para SAT.

da mesma forma, a resolução da decidibilidade dessa linguagem é quase equivalente ao problema P vs NP . no entanto, há um caso menos óbvio para o código "simples" para o problema nesse caso.

$1 ≤ n ≤ 10^{50}$

$10^{20}$