Operação em estrela Kleene no idioma vazio

No meu livro de texto, é mencionado que: $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ onde $\emptyset$ é um idioma vazio.

No entanto, sabemos que $L \cdot \emptyset = \emptyset$ , onde $L$ é qualquer idioma.

Eu não sou capaz de compreender intuitivamente este conceito porque as Kleene pontos de operação estrela para o fato de que $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$ .

Então, por que não é igual a ? $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— Sagnik
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Veja esta resposta . Basicamente, para qualquer conjunto não vazio

para consistência da fórmula

. Isso é estendido ao caso em que

é a extensão mais natural. Esta é a escolha usual em semi-anéis. O resto decorre da definição da estrela Kleene.

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou 31/07/2015

No entanto, para os números,

é deixado indefinido, principalmente por causa de problemas de continência, pelo que me lembro, embora possa ser conveniente defini-lo igual a

. Veja

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou 31/07/2015

Simplesmente porque

para todos os , por definição.

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— Raphael

@Raphael Sim. Você pode colocar dessa maneira. Mas é arbitrário, depois que

. Eu provavelmente deveria escrever minha resposta de maneira diferente. Eu tento muito explicar.

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— babou 31/07/2015

@babou No final, toda definição é arbitrária. Algumas definições são úteis, outras não. Imho, tentar encontrar intuição em definições tão básicas quanto isso raramente é útil e às vezes prejudicial.

— Raphael

Respostas:

Se você considera agora os poderes de uma linguagem possui Se deseja que isso seja consistente em , ou seja, números inteiros não negativos, você deve definir . Se você considerasse você teria incluindo, entre outros, para $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ . Assim teríamos para qualquer . Assim, isso seria claramente inconsistente. Uma inconsistência semelhante surge para qualquer outra opção além de , que é a identidade para concatenação de idioma. $x=1$ $W^1=W=\emptyset$ $W$ $\{\epsilon\}$

Portanto, a única definição consistente consistente de para um conjunto não vazio é . $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

É conveniente estender a definição para o caso quando como . $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

Esta é apenas uma definição consistente e conveniente, muitas vezes adotada em semi-anéis mas não pode ser provado, ao contrário thw caso quando onde não há outra definição consistente. $W\neq\emptyset$

No entanto, outras definições devem ser dadas de maneira consistente, o que implica que

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

$0^0=1$

O semi-toque de idiomas é descrito nesta resposta .

— babou
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Esta resposta esclareceu todas as minhas dúvidas. E os links foram excelentes.

— Sagnik 31/07/2015

$\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— Yuval Filmus
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Eu estava procurando uma explicação mais matemática, porque não estava conseguindo entender intuitivamente o conceito de "concatenação de zero palavras". No entanto, depois de ler a resposta de @ babou e essa resposta, todas as minhas dúvidas foram esclarecidas. Obrigado.

— Sagnik 31/07/2015

"... para uma língua L, a estrela Kleene L * consiste em toda concatenação de qualquer número de palavras de L, qualquer número incluindo zero palavras" Aqui, como um número zero de palavras implica em e -ison? epsilon é uma palavra, então como podemos dizer que um número zero de palavras inclui epsilon? Me corrija, por favor.

— Palak Jain

A concatenação de zero palavras é o elemento neutro para concatenação, que é a palavra vazia. Da mesma forma, a soma de zero elementos é zero, o produto de zero elementos é um, a união de conjuntos de zero é o conjunto vazio e assim por diante.

— Yuval Filmus