Sobre gráficos cujo conjunto de arestas se decompõe em combinações perfeitas

Existe uma caracterização de gráficos cujo conjunto de arestas se decompõe em uma união disjunta de combinações perfeitas?

Uma classe trivial de tais gráficos são os gráficos partidos regulares . Seu set borda irá se decompor em disjuntos perfeitos matchings. $d$ $(n,n)$ $d$

graph-theory graphs

— user6818
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Sim: chamamos esses gráficos de fator 1 (um fator 1 também é conhecido como uma correspondência perfeita). Todos esses gráficos são regulares, mas o inverso não é verdadeiro. Na verdade, um gráfico -Regular é 1-factorável se e só se for de uma classe, ou seja, , onde é o índice cromático de . $d$ $G$ $\chi'(G) = d$ $\chi'(G)$ $G$

Decidir se um gráfico regular é da classe 1 é NP-completo (consulte, por exemplo, [1]), portanto você provavelmente não poderá testá-lo com eficiência. $d$

[1] Leven, Daniel e Zvi Galil. "NP completeza de encontrar o índice cromático de gráficos regulares." Journal of Algorithms 4.1 (1983): 35-44.

— Juho
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Obrigado pela resposta! (1) Você tem uma referência para uma prova dessa completude de PN? (2) Parece que existem outras classes também? Alguma referência pedagógica para isso? (3) Você sabe se algo especial é conhecido sobre o polítopo perfeito de correspondência desses gráficos monofatoriais?

— user6818

Não, isso é uma caracterização. Ou seja, não há outras classes de gráficos. A classe de gráficos fatoriais 1 é exatamente a classe de gráficos -regulares coloráveis em . Acho que não conheço nada melhor do que o que a Wikipedia oferece, veja, por exemplo, aqui .

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— Juho