Complexidade de Kolmogorov da concatenação de cadeias

E se $K(s)$ é a complexidade Kolmogorov da cadeia $s \in \{0,1\}^*$ ,

Podemos provar (ou refutar) a seguinte declaração:

"Toda string $s$ é um prefixo de uma string incompressível; ou seja, para cada corda $s$ existe uma string $r$ de tal modo que $K(sr) \geq |sr|$ "?

De uma maneira muito informal (e talvez não muito significativa): sabemos que $K(r) \leq |r| + O(1)$ ; se escolhermos uma string incompressível grande o suficiente $r$ , podemos "usar" o $O(1)$ para "mascarar" a compressibilidade da sequência especificada $s$ ?

Um resultado semelhante (mas diferente) é o de qualquer $c$ , podemos encontrar $s$ e $r$ de tal modo que: $K(sr) > K(s) + K(r) + c$

computability kolmogorov-complexity

— Vor
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Incomprimível significa que o comprimento da string

s

$s$ é um limite inferior em sua descrição mais curta

K (s)

$K(s)$ ?

— saadtaame 16/09/12

@saadtaame: significa que

K (s) \geq | s |

$K(s) \geq |s|$

— Vor

Sua conjectura está errada. Para algumas constantes $C,D$ , sustenta que $K(sr) \leq 2K(s) + K(r) + C \leq 2K(s) + |r| + D$ (prova: use uma máquina universal de Turing para gerar $s$ e depois $r$ ; você precisa de um pouco mais do que $K(s)+K(r)$ para armazenar os dois programas, embora $2K(s)+K(r)$ é um exagero). Portanto, se $2K(s) + D < |s|$ , sua conjectura não se sustenta. Cordas tão fáceis $s$ certamente existem, por exemplo $K(0^n) = O(\log n)$ .

— Yuval Filmus
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parece ok. Eu pensei que

D

$D$ depende de

r

$r$ , mas uma vez corrigido o UTM, é uma constante. Outra consideração: ao concatenar as duas cadeias, é necessário adicionar

\log | s |

$\log |s|$ bits (para delimitar o programa para

s

$s$ do programa para

r

$r$ ), para que sua prova não funcione se modificarmos a "conjectura" em: "toda string incompressível

s

$s$ é um prefixo de uma sequência incompressível

r

$r$ "? Você consegue ver como (des) provar isso com facilidade?"

— Vor

A última conjectura é menos interessante, pois

s

$s$ já é incompressível. Formalmente, você pode escolher

r = s

$r = s$ , embora seja fácil impedir essa solução.

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus, você tem alguma idéia de como provar a segunda afirmação, ou seja, para qualquer

c

$c$ , podemos encontrar

s

$s$ e

r

$r$ de tal modo que:

K (s r) > K (s) + K (r) + c

$K(sr)>K(s)+K(r)+c$ Isso é afirmado no livro de Sipser e deixado como um problema de exercício, mas não pude provar isso e estou muito curioso para saber que tipo de técnica de prova deve ser usada para mostrar esse resultado. Obrigado!

— Han Zhao

Sugiro que você publique isso como uma nova pergunta com o botão 'Fazer pergunta'. Quando você faz isso, pode ajudar se você nos disser quais abordagens você tentou. Definitivamente não pertence como resposta aqui.

— DW