Árvore de abrangência mínima com parâmetros de peso duplo

Considere um gráfico $G(V,E)$ . Cada aresta $e$ tem dois pesos $A_e$ e $B_e$ . Encontrar uma árvore geradora que minimiza o produto $\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$ . O algoritmo deve ser executado em tempo polinomial em relação a $|V|, |E|$ .

Acho difícil adaptar qualquer um dos algoritmos tradicionais em árvores de abrangência (Kruskal, Prim, Edge-Deletion). Como resolver isso? Alguma dica?

algorithms graph-theory spanning-trees

— Strin
fonte

Talvez tente construir um novo gráfico, onde o peso de uma aresta

e

$e$ é

max (A_{e}, B_{e})

$\max(A_e,B_e)$ .

— utdiscant

Este é um problema / exercício de lição de casa? Se sim, é de um livro? A razão pela qual pergunto é que o contexto pode ajudar a "fazer engenharia reversa" do problema. Não é imediatamente óbvio que um algoritmo guloso é apropriado aqui, mas se ele vem do capítulo sobre algoritmos gulosos ...

— Joe

@utdiscant, isso não vai funcionar. Bordas negativas podem ser úteis.

— Nicholas Mancuso

mesmo para bordas positivas não é útil, por exemplo, o par (10,10) não é melhor que o par (11,1) na maioria dos casos.

Respostas:

Vou assumir que você não recebe arestas negativas ponderadas, porque isso pode não funcionar se houver pesos negativos.

Algoritmo

Para cada uma das suas arestas, identifique-as de a $1$ $n$

Deixe peso Um número de borda $a_i$ $i$

Seja peso B do número da aresta $b_i$ $i$

Elabore esta tabela

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

Com cada um dos elementos da tabela sendo o produto de linha e coluna.

Para cada aresta, some a linha e a coluna relevantes da tabela (e lembre-se de remover o elemento na interseção, pois ele foi somado duas vezes).

Encontre a aresta que possui a maior soma e exclua-a se não desconectar o gráfico. Marque a borda como essencial caso contrário. Se uma aresta foi excluída, preencha suas linhas e colunas com 0.

Correção

O resultado é obviamente uma árvore.

O resultado está obviamente se estendendo desde que nenhum vértice está desconectado.

O resultado é mínimo? Se houver outra borda cuja exclusão criará uma árvore de abrangência menor no final do algoritmo, essa borda será excluída e anulada primeiro. (se alguém pudesse me ajudar a tornar isso um pouco mais rigoroso / e / ou contra-exemplo, isso seria ótimo)

Tempo de execução

Obviamente polinomial em . $|V|$

editar

nãoéum exemplo contrário. $(2,11), (11,2), (4,6)$

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

Então

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

\begin{aligned} (4, 6) & = 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2, 11) & = 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11, 2) & = 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{aligned}

$\begin{align*} (4,6) &= 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2,11) &= 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11,2) &= 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{align*}$

é removido. $(11,2)$

Termine com $(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

Outras árvores abrangidas são

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

— Herp Derpington
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Parece-me que esta é uma abordagem bastante gananciosa. Não estou convencido de sua "prova" de minimalismo.

— Nejc

@SaeedAmiri Como isso é um exemplo de contador? Postei o trabalho na seção editada, o algoritmo dá o resultado correto.

— amigos estão dizendo sobre herp derpington

O que você fez foi descobrir quanto cada

contribui em

, e você escolhe os que têm o maior impacto. Isso é bom, mas não é o necessário. É uma pergunta complicada. Se você quiser melhorar sua resposta, precisará de uma prova. Caso contrário, não há uso.

(a_{i}, b_{i})

$(a _i, b _i)$

\sum_{e \in E} a_{i} . \sum_{e \in E} b_{i}

$\sum _{e \in E} a _i. \sum _{e \in E} b _i$

— AJed

é muito injusto obter um voto negativo pelo seu esforço.

— AJed

@AJed A prova é igual à da exclusão prim / kush / reverse. Tudo o que temos de provar agora é que a propriedade de corte ainda é válida.

— Herp Derpington

Esta é a solução em http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.html .

Podemos visualizar todas as árvores de abrangência como um ponto no plano , onde é a soma do peso , y é a soma do peso . O objetivo é minimizar . $x-y$ $x$ $\sum_{e\in T}A_{e}$ $\sum_{e\in T}B_{e}$ $xy$

$A$ $B$ $A,B$ $A$ $x$ $B$ $y$
$C$ $OAB$ $AB$ $xy$ $C$ $ABC$

$2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

$A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$ $(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$ $G^{\prime}=(V,E)$ $w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$ . Now we run a maximum spanning tree on $G^{\prime}$ to get point $C$ .
Run the above algorithm on $OBC, OAC$ recursively, until there is no more spanning trees between $BC,AC$ and $O$ .
Now we get a set of possible spanning trees. Calculate $xy$ value for each tree to get the minimum tree.