Cálculos infinitos em tempo finito

Este é provavelmente um pensamento bobo, mas suponha que temos um computador que está programado para executar uma sequência infinita de cálculos e suponha que o cálculo leva 1 / 2 i segundos para ser concluído. Então este computador pode fazer um número infinito de cálculos em uma quantidade finita de tempo.$i^\text{th}$$1/2^i$

Por que isso é impossível? Existe um limite inferior em quanto tempo leva para realizar um cálculo não trivial?

Esse "tipo" de computador é conhecido como uma Máquina Zeno . Seu modelo computacional se enquadra em uma categoria chamada hipercomputação . Modelos hipercomputacionais são abstrações matemáticas e, devido à maneira como eles são definidos para funcionar, eles não são fisicamente possíveis.

Tome sua máquina Zeno, por exemplo. Se imaginarmos que a Máquina Zeno é uma máquina de calcular de qualquer tipo, não importa se usa um ábaco ou um circuito integrado. Digamos que os dados do programa usados ​​pela máquina sejam alimentados por uma fita infinitamente longa de símbolos (como uma Máquina de Turing).

Obviamente, sabemos da matemática que:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

que dizemos que é igual a . Assim, o cálculo deve ser concluído em 1 segundo, porque a soma converge absolutamente.$1$

Mas essa convergência depende, é claro, de ir (e alcançar) o infinito. No sentido físico, isso significa que, à medida que o tempo necessário para cada cálculo diminui, a "cabeça de leitura" da máquina de calcular terá que percorrer os símbolos da fita cada vez mais rápido. Em algum momento, essa velocidade excederá a velocidade da luz.$n$

Assim, respondendo à sua segunda pergunta, o limite mais baixo possível absoluto em um cálculo provavelmente seria da ordem do tempo de Planck, dada a velocidade da luz como o principal fator limitante nos modelos de computação teóricos, mas fisicamente plausíveis.

O tempo necessário para uma computação primitiva é limitado pela velocidade da luz e pelo tamanho dos átomos, tanto quanto entendemos a física neste mesmo dia, 15 de setembro de 2015.

A unidade de computação precisa ser construída com algo de tamanho diferente de zero (átomos) e, para que o cálculo funcione, eletricidade ou luz precisarão atravessá-la, o que será limitado pelo tempo que a luz leva para atravessar as distância a zero.

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$$1$

$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$

$c_1$$c_1$

Edit : Como observado por @aroth, essa analogia assume que podemos continuar dividindo a água para sempre; que não existe o menor átomo indivisível. O que levanta o ponto interessante (eu acho) de que também devemos assumir que o tempo seja arbitrariamente divisível para que o cálculo termine em tempo finito.