Cálculos infinitos em tempo finito


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Este é provavelmente um pensamento bobo, mas suponha que temos um computador que está programado para executar uma sequência infinita de cálculos e suponha que o cálculo leva 1 / 2 i segundos para ser concluído. Então este computador pode fazer um número infinito de cálculos em uma quantidade finita de tempo.Euº1 1/2Eu

Por que isso é impossível? Existe um limite inferior em quanto tempo leva para realizar um cálculo não trivial?


Conceito relacionado, cálculos infinitos usando energia finita: a inteligência eterna de Dyson .
Peter

Respostas:


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Esse "tipo" de computador é conhecido como uma Máquina Zeno . Seu modelo computacional se enquadra em uma categoria chamada hipercomputação . Modelos hipercomputacionais são abstrações matemáticas e, devido à maneira como eles são definidos para funcionar, eles não são fisicamente possíveis.

Tome sua máquina Zeno, por exemplo. Se imaginarmos que a Máquina Zeno é uma máquina de calcular de qualquer tipo, não importa se usa um ábaco ou um circuito integrado. Digamos que os dados do programa usados ​​pela máquina sejam alimentados por uma fita infinitamente longa de símbolos (como uma Máquina de Turing).

Obviamente, sabemos da matemática que:

1 12+1 14+1 18...=n=1 1(1 12)n

que dizemos que é igual a . Assim, o cálculo deve ser concluído em 1 segundo, porque a soma converge absolutamente.1 1

Mas essa convergência depende, é claro, de ir (e alcançar) o infinito. No sentido físico, isso significa que, à medida que o tempo necessário para cada cálculo diminui, a "cabeça de leitura" da máquina de calcular terá que percorrer os símbolos da fita cada vez mais rápido. Em algum momento, essa velocidade excederá a velocidade da luz.n

Assim, respondendo à sua segunda pergunta, o limite mais baixo possível absoluto em um cálculo provavelmente seria da ordem do tempo de Planck, dada a velocidade da luz como o principal fator limitante nos modelos de computação teóricos, mas fisicamente plausíveis.



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Este programa: 10: GOTO 10 termina na máquina Zeno?
precisa saber é o seguinte

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Em termos mais simples, a matemática pressupõe que um "cálculo" seja infinitamente divisível em escopo. No entanto, esse não é o caso de qualquer máquina física, pois você chega a um ponto em que atingiu a menor unidade de trabalho que a máquina pode executar. Não é possível continuar subdividindo o cálculo depois desse ponto, mesmo que a matemática permita. Em outras palavras, a máquina sai muito antes de você realmente chegar ao final da série infinita de cálculos. Em algum momento, o tempo por cálculo para de diminuir e você acaba precisando de um tempo infinito.
Aroth

@ Cano64 Acho que não. Acredito que o critério de decisão na hipercomputação é que a soma do tempo do cálculo converge absolutamente.
Teoria de Tudo

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O tempo necessário para uma computação primitiva é limitado pela velocidade da luz e pelo tamanho dos átomos, tanto quanto entendemos a física neste mesmo dia, 15 de setembro de 2015.

A unidade de computação precisa ser construída com algo de tamanho diferente de zero (átomos) e, para que o cálculo funcione, eletricidade ou luz precisarão atravessá-la, o que será limitado pelo tempo que a luz leva para atravessar as distância a zero.


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Um exemplo concreto na história recente da ciência que ultrapassa as fronteiras é a magnorresistência gigante , uma descoberta ganhadora do Prêmio Nobel que permitiu a densidade de dados em discos rígidos anteriormente considerados impossíveis. Existem muitos, muitos mais se você voltar; tente explicar a possibilidade de um "smartphone" para uma pessoa a partir de 1500 dC. (Eles podem simplesmente queimar você como uma bruxa, tenha cuidado.) Portanto, acho que não devemos assumir que nosso conhecimento atual da física induz limites rígidos sobre o que é possível.
Raphael

-1

Σn=1 1(1 12)n1 1

1 121 1434

c1 1c1 1

Edit : Como observado por @aroth, essa analogia assume que podemos continuar dividindo a água para sempre; que não existe o menor átomo indivisível. O que levanta o ponto interessante (eu acho) de que também devemos assumir que o tempo seja arbitrariamente divisível para que o cálculo termine em tempo finito.


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"e com a mesma clareza você sempre terá mais água no balde azul para derramar" - Não necessariamente. Com um aparelho de vazamento preciso o suficiente, você chegará a um ponto em que existem 2 moléculas de água no balde azul. Então 1 molécula. Então você derrama a última molécula ou não. Ou você a divide em seus átomos de base, mas não é mais água (ou vaza no STP). A questão é que você chegará à última molécula de água bem antes de chegar ao final da série infinita, para que "nem sempre" haja água no balde azul.
aroth 14/09/15

@aroth: sim, verdade, para que a analogia funcione, você deve pensar na água como uma "densidade" satisfatória, uma espécie de "sempre divisibilidade". Seu ponto de vista é interessante, pois destaca algo importante; para que a computação termine em tempo finito, o tempo também precisa ser denso / sempre divisível. Se houver uma quantidade de tempo mais curta, uma unidade atômica não divisível de tempo, a computação infinita levará um tempo infinito (ou cada computação não levará tempo, depois de algum ponto).
epa095

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Eu=1 12-Eu2-Eu

@ david-richerby: Não está reafirmando o problema de uma maneira diferente, oferecendo uma maneira mais fácil de pensar sobre isso, exatamente o que é proporcionar intuição? Observe também que você também está reafirmando o problema, desde a quantidade de tempo até a soma dos números racionais. Um passo (extremamente) curto, sim, mas um reafirmante, no entanto. Se você conhece a convergência de somas de números racionais, essa atualização facilita a compreensão, mas para alguns, tenho certeza de que é mais fácil entendê-la em termos de água. É pelo menos como entendi pela primeira vez por que algumas somas infinitas convergiram e outras não.
epa095

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@ epa095 Fornecer intuição envolve explicar uma situação desconhecida por referência a uma situação familiar e usar a familiaridade com uma situação para ajudar a entender a outra. Você não está fazendo isso: está tentando explicar uma situação desconhecida (calculando uma soma infinita e convergente) por outra (despejando baldes de água infinitamente divisível com precisão perfeita). Pessoas que conhecem convergência de somas não precisam da analogia; para pessoas que não conhecem a convergência de somas, renomear "número racional" para "quantidade de água hipotética" não ajuda.
David Richerby
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