Problemas de decisão versus problemas "reais" que não são sim ou não

Li em muitos lugares que alguns problemas são difíceis de abordar (é difícil para os aproximar ). Mas a aproximação não é um problema de decisão: a resposta é um número real e não Sim ou Não. Também para cada fator de aproximação desejado, existem muitas respostas corretas e erradas, e isso muda com o fator de aproximação desejado!

Então, como se pode dizer que esse problema é difícil de NP?

(inspirado no segundo marcador em Quão difícil é contar o número de caminhos simples entre dois nós em um gráfico direcionado? )

Como você disse, não há decisão a ser tomada, portanto novas classes de complexidade e novos tipos de redução são necessários para chegar a uma definição adequada de dureza NP para problemas de otimização .

Uma maneira de fazer isso é ter duas novas classes NPO e PO que contenham problemas de otimização e elas imitam, é claro, as classes NP e P para problemas de decisão. Novas reduções também são necessárias. Em seguida, podemos recriar uma versão da dureza NP para problemas de otimização ao longo das linhas que foram bem-sucedidas para problemas de decisão. Mas primeiro temos que concordar com o que é um problema de otimização .

Definição: Let $O=(X,L,f,opt)$ ser uma optimização de problemas . $X$ é o conjunto de entradas ou instâncias adequadas codificadas como seqüências de caracteres. $L$ é uma função que mapeia cada instância $x\in X$ em um conjunto de cadeias, as soluções viáveis da instância $x$ . É um conjunto porque existem muitas soluções para um problema de otimização. Assim, temos uma função objetiva $f$ que nos diz para cada par $(x, y)$ $y\in L(x)$ da instância e solução de seucustoouvalor. $opt$ diz-nos se estamos a maximizar ou minimizar.

Isto permite-nos definir o que uma solução óptima é: Deixe- $y_{opt}\in L(x)$ ser a solução ideal de uma instância $x\in X$ de uma optimização de problemas $O=(X,L,f,opt)$ com

$$f(x,y_{opt})=opt\{f(x,y')\mid y'\in L(x)\}.$$ A solução ideal é frequentemente indicada por$y^*$ .

Agora, podemos definir a classe NPO : Let $NPO$ ser o conjunto de todos os problemas de optimização- $O=(X,L,f,opt)$ com:

1. $X\in P$
2. Há um polinômio $p$ com $|y|\le p(|x|)$ para todas as instâncias $x\in X$ e todas as soluções viáveis $y\in L(x)$ . Além disso, existe um algoritmo determinístico que decide em tempo polinomial se $y\in L(x)$ .
3. $f$ pode ser avaliado em tempo polinomial.

A intuição por trás disso é:

1. Podemos verificar com eficiência se $x$ é realmente uma instância válida do nosso problema de otimização.
2. O tamanho das soluções viáveis ​​é delimitado polinomialmente no tamanho das entradas. E podemos verificar com eficiência se $y\in L(x)$ é uma solução viável da instância $x$ .
3. O valor de uma solução $y\in L(x)$ pode ser determinado com eficiência.

Isto espelha como $NP$ é definido, agora para PO : Deixe- $PO$ ser o conjunto de todos os problemas de $NPO$ que podem ser resolvidos por um algoritmo determinista em tempo polinomial.

Agora somos capazes de definir o que queremos chamar uma aproximação algoritmo : Uma aproximação algoritmo de otimização de problemas é um algoritmo que calcula uma solução viável y ∈ L ( x ) para uma instância x ∈ X .$O=(X,L,f,opt)$$y\in L(x)$$x\in X$

Nota: Que não pedimos uma solução ótima , apenas o que ter uma viável .

Agora temos dois tipos de erros: O erro absoluto de uma solução viável de uma instância x ∈ X do problema de otimização O = $y\in L(x)$$x\in X$ é | f ( x , y ) - f ( x , y ∗ ) | .$O=(X,L,f,opt)$$|f(x,y)-f(x,y^*)|$

Chamamos o erro absoluto de um algoritmo de aproximação para o problema de otimização O delimitado por k se o algoritmo A computa para cada instância x ∈ X uma solução viável com um erro absoluto delimitado por k .$A$$O$$k$$A$$x\in X$$k$

Exemplo: De acordo com o Teorema de Vizing, o índice cromático de um gráfico (o número de cores na aresta colorindo com o menor número de cores usado) é ou Δ $\Delta$ , onde Δ é o grau máximo do nó. A partir da prova do teorema, pode ser elaborado um algoritmo de aproximação que calcula uma coloração de borda com cores Δ + 1 . Conseqüentemente, temos um algoritmo de aproximação para o M i n i m u m - E d g e C o l o r i $\Delta+1$$\Delta$$\Delta+1$ -Problema onde o erro absoluto é delimitado por 1 .$\mathsf{Minimum-EdgeColoring}$$1$

Este exemplo é uma excepção, pequenos erros absolutos são raras, assim, nós definimos o erro relativo da aproximação do algoritmo Uma no exemplo X de optimização para o problema O = ( X , L , M , o p t ) com f ( x , y ) > 0 para todos os x ∈ X e y ∈ L ( x ) a serem$\epsilon_A(x)$$A$$x$$O=(X,L,f,opt)$$f(x,y)>0$$x\in X$$y\in L(x)$

$$\epsilon_A(x):=\begin{cases}0&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\frac{|f(x,A(x))-f(x,y^*)|}{\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$$

onde é a solução viável calculado pela aproximação algoritmo- A .$A(x)=y\in L(x)$$A$

Podemos agora definir aproximação algoritmo- para a optimização de problemas S = ( X , L , M , o p t ) ser um δ -approximation-algoritmo para S se o erro relativo ε A ( x ) é delimitada por δ ≥ 0 para cada instância x ∈ X , portanto ϵ A ( x ) ≤ $A$$O=(X,L,f,opt)$$\delta$$O$$\epsilon_A(x)$$\delta\ge 0$$x\in X$

$$\epsilon_A(x)\le \delta\qquad \forall x\in X.$$

A escolha de no denominador da definição do erro relativo foi selecionada para tornar a definição simétrica para maximizar e minimizar. O valor do erro relativo ϵ A ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] . No caso de um problema de maximização, o valor da solução nunca é menor que ( 1 - ϵ A ( x $\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}$$\epsilon_A(x)\in[0,1]$ e nunca maior que 1 / ( 1 - ϵ A ( x ) ) ⋅ f ( x , y ∗ ) para um problema de minimização.$(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$$1/(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$

Agora podemos chamar um problema de otimização aproximado se houver um algoritmo de aproximação δ A para O que é executado no tempo polinomial.$\delta$$\delta$$A$$O$

Não queremos examinar o erro para cada instância , apenas o pior caso. Assim, definimos ϵ A ( n ) , o erro relativo máximo do algoritmo de aproximação A para o problema de otimização O ser ϵ A ( n ) = sup { ϵ A ( x ) ∣ | x | ≤ n } $x$$\epsilon_A(n)$$A$$O$

$$\epsilon_A(n)=\sup\{\epsilon_A(x)\mid |x|\le n\}.$$

Onde deve ser o tamanho da instância.$|x|$

Exemplo: Uma correspondência máxima em um gráfico pode ser transformada em uma cobertura mínima de nó adicionando todos os nós incidentes da correspondência à cobertura de vértice. Assim, 1 / 2 ⋅ | C | bordas são cobertas. À medida que cada cobertura de vértices, incluindo o ideal deve ter um dos nodos de cada borda coberto, caso contrário, poderia ser melhorada, temos 1 / 2 ⋅ | C | ⋅ f ( x , y ∗ ) . Segue-se que | C | - f ( x , y $C$$1/2\cdot |C|$$1/2\cdot |C|\cdot f(x,y^*)$ Assim, o algoritmo de ávidos de uma correspondência máxima é um1/2-approximatio-algoritmo paraHinimuml-VertexCOver. DaíMinimuml-VertexCOveré1/2-approximable.

$$\frac{|C|-f(x,y^*)}{|C|}\le\frac{1}{2}$$ $1/2$$\mathsf{Minimal-VertexCover}$$\mathsf{Minimal-VertexCover}$$1/2$

Infelizmente, o erro relativo nem sempre é a melhor noção de qualidade para uma aproximação, como o exemplo a seguir demonstra:

Exemplo: Um algoritmo guloso simples pode aproximar-se . Uma análise mostra que | C $\mathsf{Minimum-SetCover}$e, assim,Hinimum-SetCoverserialn(n

$$\frac{|C|}{|C^*|}\le H_n\le 1+\ln(n)$$ $\mathsf{Minimum-SetCover}$ aproximado.$\frac{\ln(n)}{1+\ln(n)}$

Se o erro relativo for próximo de a seguinte definição é vantajosa.$1$

Deixe ser uma optimização de problemas com f ( x , y ) > 0 para todos os x ∈ X e Y ∈ G ( x ) e A uma aproximação-algoritmo para ó . A razão de aproximação r A ( x ) da solução viável A ( x ) = $O=(X,L,f,opt)$$f(x, y)>0$$x\in X$$y\in L(x)$$A$$O$ $r_A(x)$ da instância x ∈ X é r A ( x ) = $A(x)=y\in L(x)$$x\in X$

$$r_A(x)=\begin{cases}1&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\max\left\{ \frac{f(x,A(x))}{f(x, y^*)},\frac{f(x, y^*)}{f(x, A(x))}\right\}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$$

Como antes chamamos uma aproximação-algoritmo um r -approximation-algoritmo para a optimização de problemas ó se a aproximação-rácio r A ( x ) é delimitada por r ≥ um para cada entrada x ∈ X . r A ( x ) ≤ r E mais uma vez se temos um r -approximation-algorithm A para a otimização de problemas O então O é chamado r -approximable$A$$r$$O$$r_A(x)$$r\ge1$$x\in X$

$$r_A(x)\le r$$ $r$$A$$O$$O$$r$. Novamente, nos preocupamos apenas com o pior caso e definimos a relação de aproximação máxima como r A ( n ) = sup { r A ( x ) ∣ | x | ≤ n } . Consequentemente, a razão de aproximação é maior que 1 para soluções abaixo do ideal. Assim, melhores soluções têm proporções menores. Para M i n i m u m - C e t C $r_A(n)$ $$r_A(n)=\sup\{r_A(x)\mid |x|\le n\}.$$ $1$ agora podemos escrever que é ( 1 + ln ( n ) ) -approximable. E no caso de M i n i m u m - V e r t e x C O v e r sabemos a partir do exemplo anterior que é 2 -approximable. Entre erro relativo e razão de aproximação, temos relações simples: r A ( x ) = $\mathsf{Minimum-SetCover}$$(1+\ln(n))$$\mathsf{Minimum-VertexCover}$$2$ $$r_A(x)=\frac{1}{1-\epsilon_A(x)}\qquad \epsilon_A(x)=1-\frac{1}{r_A(x)}.$$

Para pequenos desvios em relação ao óptimo e r < 2 o erro relativo é vantajoso em relação à aproximação de relação, que mostra a sua força de grandes desvios$\epsilon<1/2$$r<2$ e r ≥ 2 .$\epsilon\ge 1/2$$r\ge 2$

As duas versões de aproximadas não se sobrepõem, pois uma versão sempre tem α $\alpha$ e o outro α ≥ 1 . O caso α = 1 não é problemático, pois é alcançado apenas por algoritmos que produzem uma solução exata e, consequentemente, não precisam ser tratados como algoritmos de aproximação.$\alpha\le 1$$\alpha\ge 1$$\alpha=1$

Outra classe aparece frequentemente APX . É definido como o conjunto de todos os problemas de otimização de$O$ que refúgio um r -approximation-algoritmo com r ≥ 1 que é executado em tempo polinomial.$NPO$$r$$r\ge1$

Estamos quase terminando. Gostaríamos de copiar as idéias bem-sucedidas de reduções e completude da teoria da complexidade. A observação é que muitas variantes de decisão difíceis de NP de problemas de otimização são redutíveis entre si, enquanto suas variantes de otimização têm propriedades diferentes em relação à sua aproximabilidade. Isso ocorre devido à redução de tempo polinomial de Karp usada nas reduções de completude de NP, que não preserva a função objetivo. E mesmo que as funções objetivas sejam preservadas, a redução do tempo polinomial de Karp pode alterar a qualidade da solução.

O que precisamos é de uma versão mais forte da redução, que não apenas mapeie instâncias do problema de otimização para instâncias de O $O_1$$O_2$ , mas também boas soluções de volta a boas soluções de O 1 .$O_2$$O_1$

Portanto, definimos a redução de preservação de aproximação para dois problemas de otimização e O 2 = ( X 2 , L 2 , f 2 , o p t 2 ) a partir de N P S . Chamamos O 1 A P -redutível a O $O_1=(X_1,L_1,f_1,opt_1)$$O_2=(X_2,L_2,f_2,opt_2)$$NPO$$O_1$ $AP$$O_2$, escrito como , se houver duas funções g e he uma constante c com:$O_1\le_{AP} O_2$$g$$h$$c$

1. para todos x 1 ∈ X 1 e r racional > $g(x_1, r)\in X_2$$x_1\in X_1$$r>1$
2. se L 1 ( x 1 ) ≠ ∅ para todos x $L_2(g(x, r_1))\ne\emptyset$$L_1(x_1)\ne\emptyset$ e racional r > $x_1\in X_1$$r>1$
3. para todos x 1 ∈ X 1 e racional r > 1 e para todos y 2 ∈ L 2$h(x_1, y_2, r)\in L_1(x_1)$$x_1\in X_1$$r>1$$y_2\in L_2(g(x_1,r))$
4. Para fixo ambas as funções g e h podem ser calculadas por dois algoritmos em tempo polinomial no comprimento de suas entradas.$r$$g$$h$
5. Temos para todos x 1 ∈ X 1 e racional r > 1 e para todos y $$f_2(g(x_1,r),y_2)\le r \Rightarrow f_1(x_1,h(x_1,y_2,r))\le 1+c\cdot(r-1)$$ $x_1\in X_1$$r>1$$y_2\in L_2(g(x_1,r))$

Nesta definição, e h dependem da qualidade da solução r . Assim, para diferentes qualidades, as funções podem diferir. Esta generalidade nem sempre é necessário e nós apenas trabalhar com g ( x 1 ) e h $g$$h$$r$$g(x_1)$ .$h(x_1, y_2)$

Agora que temos uma noção de redução para problemas de otimização, finalmente podemos transferir muitas coisas que sabemos da teoria da complexidade. Por exemplo, se sabemos que e mostramos que O 1 ≤ A P O 2 segue-se que O 1 ∈ A P X também.$O_2\in APX$$O_1\le_{AP} O_2$$O_1\in APX$

Finalmente, podemos definir o que queremos dizer com -hard e C- complete para problemas de otimização:$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Seja um problema de otimização de N P O e C uma classe de problemas de otimização de N P O, então O é chamado C- duro em relação a ≤ A P se para todos O ′ ∈ C $O$$NPO$$\mathcal{C}$$NPO$$O$$\mathcal{C}$$\le_{AP}$$O'\in\mathcal{C}$ prende .$O'\le_{AP} O$

Assim, mais uma vez, temos a noção de um problema mais difícil da classe. Não é de surpreender que um problema de -hard$\mathcal{C}$ seja chamado de complete em relação a $\mathcal{C}$ se é um elemento de C .$\le_{AP}$$\mathcal{C}$

Assim, agora podemos falar sobre -completness e A P X -completness etc. E, claro, estamos agora convidado a apresentar um primeiro N P O problema -completo que assume o papel de S A T . Ela vem quase naturalmente, que W e i g h t e d - S um t i s f i uma b i l i t y pode ser demonstrado ser N P $NPO$$APX$$NPO$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{Weighted-Satisfiability}$$NPO$-completo. Com a ajuda do PCP-Teorema um pode mesmo mostrar que é A P X -completo.$\mathsf{Maximum-3SAT}$$APX$

Normalmente, o que é mostrado é a dureza NP de uma versão "Gap" do problema. Por exemplo, suponha que você queira mostrar que é difícil aproximar SET COVER com um fator 2.

Você define a seguinte instância "promessa" de SET COVER que chamaremos de 2-GAP-SET-COVER:

Corrija algum número . 2-GAP-SET-COVER consiste em todas as instâncias da tampa do conjunto em que o tamanho da tampa ideal do conjunto é:$\ell$

• no máximo $\ell$
• pelo menos $2\ell$

Suponha que mostremos que o problema de decidir em qual dos dois casos um problema se encaixa é NP-completo. Em seguida, mostramos que aproximar SET COVER de um fator 2 é NP-difícil, porque poderíamos usar esse algoritmo para distinguir esses dois casos.

As duas respostas existentes são muito informativas, mas acho que nenhuma delas realmente responde à pergunta, que é: "Como um problema que nem sequer é um problema de decisão pode ser difícil para o NP, quando NP é uma classe de problemas de decisão? ? "

A resposta é lembrar o que significa NP-hard. Um problema  é NP-hard sob algum tipo de reduções se todos os problemas em NP pode ser reduzido a  L . (E $L$$L$$L$  é NP-completo se for NP-difícil e em NP.) Informalmente, NP-difícil significa "Se eu pudesse resolver esse problema, poderia resolver tudo em NP", mesmo que o problema de que você está falando não seja ' t em NP. A dureza do NP não requer associação ao NP, mas precisa da noção correta de redução.

Alguns exemplos.

1. $L$$L$$L$$L$
2. #SAT é o problema de calcular o número de atribuições satisfatórias para as fórmulas CNF. Claramente não está no NP porque, como você observa, o NP é uma classe de problemas de decisão e o #SAT não é um deles. No entanto, o #SAT é NP-difícil sob reduções de Turing em tempo polinomial, porque podemos reduzi-lo. Dada uma instância do SAT, perguntamos quantas atribuições satisfatórias existem: se houver pelo menos uma, dizemos "satisfatória"; caso contrário, "insatisfatório".
3. $\varphi$$\varphi$$\varphi$$\varphi'=\varphi \wedge (Z_1\vee \dots \vee Z_{10})$$Z_i$$\varphi'$$\varphi$$\varphi'$$\varphi$$\varphi'$