Polinômio cromático de um quadrado

Considere um quadrado, ABCD. Intuitivamente, pareceu-me que seu polinômio cromático é onde existem cores disponíveis.$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

Ou seja, existem maneiras pelas quais uma cor para A pode ser escolhida, existem maneiras de escolher cores para B e D (B e D são adjacentes a A) e maneiras para cores para C ser escolhido.$\lambda$$\lambda - 1$$\lambda - 2$

No entanto, o uso do teorema da decomposição (slide 47, Exemplo 11.33) e a decomposição do quadrado em um caminho de comprimento 3 e triângulo, mostra que meu raciocínio inicial está errado.

Você poderia me dizer onde estou errado com meu pensamento.

Você deve se lembrar que os vértices na diagonal um do outro podem ter a mesma cor! Sua fórmula não leva isso em consideração. Podemos encontrar o número cromático de um gráfico através do princípio de inclusão-exclusão. É uma técnica de contagem muito geral que nos permite contar estruturas complexas, se pudermos provar certos limites em certos subconjuntos.

A idéia principal é que contemos todas as maneiras possíveis pelas quais algumas propriedades acontecem. Em seguida, removemos alguns itens "ruins". No entanto, podemos ter removido muito e precisamos adicionar alguns itens "bons". Isso vai e volta até que passemos por todos os subconjuntos.

O princípio de inclusão-exclusão nos diz que, dado um conjunto de bases , o número de elementos de que não se encontra em nenhum dos subconjuntos é X A i ∑ I ⊆ [ n ] ( - 1 ) | I | | Um eu | $|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

Seja o número de cores e seja o conjunto de todos os corantes possíveis (ou seja, ) e deixeX | X | = λ 4 A e = { coloração : e = ( i , j ) ∈ E , cor ( i ) = cor ( j ) $\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

Antes de obtermos o polinômio final, precisamos contar o tamanho dos nossos conjuntos e o tamanho de todos os subconjuntos que se cruzam.$A_{e}$

Observe que . Isso se deve ao fato de estarmos apenas colorindo mas sempre escolhendo as mesmas cores para os vértices vizinhos. No futuro, temos,$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

Eu não vou listar cada conjunto de 3, mas todos eles têm a mesma contagem. . E, finalmente, . Agora vamos coletar nossos termos e adicionar.$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

Agora, contar com a inclusão-exclusão para esse problema não era tão ruim porque tínhamos um ciclo simples de 4. Se o gráfico tivesse mais estrutura, seria rapidamente irritante descobrir cada tamanho de interseção para todas as interseções possíveis.

A resposta de Nicholas acima e essa me ajudaram a ver a falha no meu pensamento. Pensei em elaborar mais especificamente sobre Nicholas,

Você deve se lembrar que os vértices na diagonal um do outro podem ter a mesma cor

e também obter o polinômio cromático ajustando o meu raciocínio errado.

Inicialmente, eu havia imaginado que há maneiras de escolher cores para C. O "-2" representava as cores diferentes das de B e D. O que eu não pensava é que B e D podem ter o mesmas cores; nesse caso, haveria apenas maneira de escolher cores para C.$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = Número de maneiras de colorir ABCD corretamente quando B e D são da mesma cor + Número de maneiras de colorir ABCD corretamente quando B e D são coloridos diferentemente
=$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$