Sobre "A altura média das árvores planas plantadas", de Knuth, de Bruijn e Rice (1972)

Estou tentando derivar o artigo clássico no título apenas por meios elementares (sem funções geradoras, sem análise complexa, sem análise de Fourier), embora com muito menos precisão. Em resumo, "apenas" quero provar que a altura média $h_n$ de uma árvore com $n$ nós (ou seja, o número máximo de nós da raiz até uma folha) satisfaz . $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

$A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h ({UMA}_{n h} - {UMA}_{n, h - 1 1}) = \sum_{h ⩾ 1 1} h (B_{n, h - 1 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ , pois o conjunto de árvores gerais com

n

$n$ nós está em bijeção com o conjunto de árvores binárias com

n - 1

$n-1$ nós, contados pelos números catalães.

Portanto, o primeiro passo é encontrar $B_{nh}$ e, em seguida, o termo principal na expansão assintótica de $S_n$ .

Neste ponto, os autores usam combinatória analítica (três páginas) para derivar

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Minha própria tentativa é a seguinte. Considero a bijeção entre árvores com $n$ nós e caminhos monotônicos em uma grade quadrada $(n-1) \times (n-1)$ de $(0,0)$ a $(n-1,n-1)$ que não cruzam a diagonal (e são feitos de dois tipos de etapas: $\uparrow$ e $\rightarrow$ ). Esses caminhos são chamados de caminhos Dyck ou excursões . Posso expressar agora $B_{nh}$ em termos de caminhos de treliça: é o número de caminhos Dyck de comprimento 2 (n-1) e altura maior ou igual a $h$ . (Nota: uma árvore de altura $h$ está em bijeção com um caminho Dyck de altura $h-1$ .)

Sem perda de generalidade, presumo que eles começam com $\uparrow$ (portanto permaneçam acima da diagonal). Para cada caminho, considero o primeiro passo que cruza a linha $y = x + h - 1$ , se houver. Do ponto acima, todo o caminho de volta à origem, mudo $\uparrow$ para $\rightarrow$ e vice-versa (este é um reflexo na linha $y=x+h$ ). Torna-se aparente que os caminhos que eu quero contar ( $B_{nh}$ ) estão em bijeção com os caminhos monotônicos de $(-h,h)$ a $(n-1,n-1)$ que evitam os limites $y=x+2h+1$ e $y=x-1$ . (Veja a figura .)

No livro clássico Lattice Path Counting and Applications de Mohanty (1979, página 6), a fórmula conta o número de caminhos monotônicos em uma rede de a , o que evita os limites e , com e . (Este resultado foi estabelecido pela primeira vez por estatísticos russos nos anos 50.) Portanto, considerando uma nova origem em , satisfazemos as condições da fórmula: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ e o ponto de destino (canto superior direito) é agora . Então Isso pode ser simplificado em que, por sua vez, é equivalente a A diferença com a fórmula esperada é que somamos os números ímpares ( ), em vez de todos os números inteiros positivos ( ).

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

Alguma idéia de onde está o problema?

— cristão
fonte

Você diz que deseja usar apenas coisas elementares, mas usa o resultado de um livro. Como Mohanty obtém a identidade que você usa?

— Raphael

Defino na primeira frase o que quero dizer com "elementar": sem funções geradoras, sem análise complexa, sem análise de Fourier. Em seu livro, Mohanty usa meios elementares para derivar essa fórmula, mais precisamente, dos princípios de reflexão e inclusão-exclusão nos caminhos da rede. (Eu uso o anterior acima.) Se você insistir, acrescentarei a prova dele no final da pergunta.

— Christian

Nem um pouco, só queria ter certeza de que você não estava infringindo sua regra.

— Raphael

É muito estranho para mim ver 'funções geradoras' listadas como uma técnica não elementar quando a combinatória analítica é aparentemente considerada elementar. parece um valor quase inerentemente não elementar; você tem, por exemplo, uma prova comparável dos assintóticos do coeficiente binomial central para dar uma melhor noção do que você está procurando? Eu suspeito que os dois estão intimamente relacionados ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— Steven Stadnicki

Os caminhos monotônicos de a que você constrói apenas evitam o limite antes que eles cruzem $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ pela primeira vez. Portanto, a fórmula que você usa não é aplicável. $y=x+h$

— FrankW
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