Dureza e direções das reduções

Digamos que sabemos que o problema A é difícil, depois reduzimos A ao problema desconhecido B para provar que B também é difícil.

Como exemplo: sabemos que 3 cores são difíceis. Em seguida, reduzimos 3 cores para 4 cores. Ao confundir uma das cores da 3-coloração, você tem 4-coloração, portanto, a 4-coloração é difícil.

É assim que. Mas por que isso prova que a coloração 4 é difícil? Você pode usar a solução para o problema das 4 cores para resolver o problema das 3 cores? Se sim, como? Caso contrário, por que é uma prova válida?

Bônus q: As reduções polinomiais devem ser capazes de ocorrer nos dois sentidos?

Edit: se você pudesse explicar por que isso acontece, por exemplo, você faria um favor à Internet. Não consegui encontrar isso explicado de maneira concreta em nenhum lugar.

Uma redução de um problema para outro problema B é uma transformação f de qualquer instância a de A em uma instância f ( a ) de B , de modo que$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Se é uma transformação que preserva a complexidade em que você está interessado (por exemplo, f é uma transformação polinomial se considerar a dureza N P ), a existência de um algoritmo A B que resolve B implica na existência de um algoritmo que resolva A : basta executar f , então Um B .$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Por isso, a existência de um tal redução de para B meios que B não é mais fácil do que um . Não é necessário ter uma redução para o outro lado.$A$$B$$B$$A$

Por exemplo, para colorir gráficos. Você pode reduzir 3 a 4 cores, mas não de maneira imediata. Se você pegar um gráfico e escolher f ( G ) = G, então você terá que x ∈ 3 C O L ⇒ f ( x ) $G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ , mas você não tem f ( x ) ∈ 4 C O L ⇒ x ∈ 3 C O L, é claro. A conclusão é que a equivalência$f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$ não é respeitado, então f nãoéuma redução.$(E)$$f$

Você pode construir uma redução correta de 3 C O L para 4 C O L, mas é um pouco mais complicado: para qualquer gráfico G , seja f ( G ) o gráfico G estendido com outro nó u que esteja vinculado a uma aresta para todos os outros nós.$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• A transformação preserva a complexidade (polinômio, aqui);
• se está em 3 C O L, então f ( G ) está em 4 C O L : basta usar a quarta cor para u ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• se é de 4 C O L em seguida, poderá provar que todos os nós excepto L tem uma cor que não é u 's, por conseguinte, G é em 3 C O L .$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

Isto prova que é uma redução e que 4 C S G é mais difícil do que 3 C O L . Você pode provar da mesma forma que n C O L é mais difícil do que m C O L para qualquer n ≥ m , a prova interessante estar do fato de que 3 C O L é mais difícil do que qualquer n C O L .$f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$