Considerando apenas o alfabeto , as cadeias que podem ser fornecidas como entrada para as máquinas de Turing são do conjunto . Mas faz sentido que a entrada seja uma sequência binária infinita? Por exemplo, se uma máquina de Turing aceita todas as cadeias que começam com 0, uma cadeia binária de zeros infinitos também pertence ao idioma aceito pela máquina de Turing?
Respostas:
Não há problema em executar uma máquina de Turing em uma fita inicializada com uma sequência infinita, embora isso geralmente não seja considerado. No entanto, ainda precisamos que a máquina termine em tempo finito. Também existem noções de computação em tempo infinito, que podem ser apropriadas aqui.
Essa é uma das características das máquinas de Turing tipo 2 . Eles são usados, entre outras coisas, para analisar a computabilidade das funções entre números reais. Ainda mais interessante, eles são usados para analisar a computabilidade de operadores como a integração.
Fato interessante: a integração numérica exata é computável.
Para responder à pergunta "faz sentido", isso pode até ser útil se você considerar as máquinas de Turing que são executadas em tempo finito.
Especificamente, essa é uma maneira muito útil de pensar em máquinas de Turing sem prefixo . São máquinas cujo conjunto de entradas interrompidas é livre de prefixo; isto é, nenhuma entrada que faça com que a máquina pare é o prefixo de outra. Eles são equivalentes em potência às máquinas de Turing comuns, mas somente se permitirmos que a máquina de Turing decida suas próprias entradas de parada: ie. o usuário não tem idéia em quais entradas a máquina interromperá (e essa é uma propriedade indecidível).
Uma maneira de ver isso é como uma máquina de Turing comum com uma fita de entrada infinita unidirecional com uma cabeça de fita que não pode voltar atrás. O usuário enche a fita com bits e executa a máquina. Esta é, por definição, uma máquina de Turing sem prefixo. Se a máquina parar, ela deve ter lido apenas um número finito de bits e nenhum prefixo dessa parte da fita pode ser um programa, ou a máquina teria parado lá.
Essa é uma boa maneira de falar sobre distribuições de probabilidade computáveis: o usuário preenche a fita com bits aleatórios (a fonte de aleatoriedade da máquina) e a máquina cospe uma sequência de bits aleatória. O conjunto de todas essas máquinas de Turing corresponde ao conjunto de distribuições computáveis (especificamente as semimensas semicomputáveis inferiores).
A vantagem da entrada infinita é que não precisamos especificar o que a máquina faz se lhe dermos o prefixo de um programa de parada, ou seja. a máquina tenta ler além do final da entrada que fornecemos.
Mesmo se você não tiver essa fita, poderá empregar outra máquina de Turing para produzi-la.
Uma máquina de Turing tem acesso à fita de dados vazia, mas infinita (ou algumas fontes dizem "a máquina possui apenas uma pequena fábrica de fitas"). Portanto, ele pode inicializá-lo com algum padrão de dados programável e, em seguida, a fita pode ser consumida como entrada de outra máquina de Turing.
Obviamente, se seu conteúdo é tal que nenhum algoritmo pode ser definido como produzi-lo, esse conteúdo não pode ser criado pela máquina de Turing.
Existem alguns casos em que entradas infinitas podem ser consideradas e reduzidas à ação de uma máquina de Turing "padrão". Por exemplo, considere um padrão finito de repetição infinita especificado na entrada. Pode-se criar uma máquina de Turing que monitora quanto desse padrão infinito foi modificado pelas ações atuais da cabeça da fita, usando uma quantidade finita de memória / armazenamento em fita. Em outras palavras, "simula equivalentemente" um padrão de tamanho infinito na fita.
Outro caso em que "entrada infinita" foi considerada é a análise da equivalência / completude de Turing dos autômatos celulares. em uma prova complexa, Cook introduziu um conceito agora referido por alguns como "equivalência fraca de Turing" na conversão de operações de regra CA 110 em operações de máquina de Turing que iniciam em uma fita inicial especificada infinitamente, mas com padrões de tamanho finito (repetitivos).
Nas linguagens formais, uma string é, por definição, uma sequência finita de símbolos. Uma máquina de Turing clássica possui uma fita infinita com uma sequência de entrada finita. Como tal, embora não haja limite para a duração da entrada, ela não pode ser infinita.
Dito isto, existem muitas máquinas alternativas que funcionam de maneira semelhante a uma TM, mas com sequências de entrada infinitas.
Se faz sentido ter uma entrada de tamanho infinito depende do objetivo. Estritamente no contexto das Máquinas de Turing, não faz sentido (já que não é possível), mas no contexto das Máquinas do tipo Turing, faz sentido e tem muitas aplicações.