Dureza NP de revestimentos com peças retangulares (Google Hash Code 2015 Test Round)

A Rodada de Teste do Google Hash Code 2015 ( declaração do problema ) perguntou sobre o seguinte problema:

• entrada: uma grade com alguns quadrados marcados, um limiar T ∈ N , uma área máxima A ∈ $M$$T \in \mathbb{N}$$A \in \mathbb{N}$
• produção: a maior área possível total de um conjunto de rectângulos disjuntos com coordenadas de número inteiro em de modo que cada rectângulo inclui, pelo menos, t quadrados marcados e cada rectângulo tem área de, no máximo, um .$M$$T$$A$

Na terminologia do Google, a grade é uma pizza, os quadrados marcados são presunto e os retângulos separados são fatias.

Podemos reformular claramente esse problema para um problema de decisão adicionando uma entrada adicional e deixe a resposta ser "existe um conjunto de retângulos disjuntos que satisfazem as condições cuja área total é de pelo menos n quadrados".$n \in \mathbb{N}$$n$

Minha pergunta: embora o problema do Google tenha solicitado aos candidatos que encontrassem uma solução "o melhor possível" para o problema de computação em uma instância específica, acho que é provável que o problema geral (em sua formulação de decisão) seja NP-completo. No entanto, não consigo encontrar uma redução para mostrar a dureza NP. (A associação ao NP é imediata.) Como provar que esse problema é difícil ao NP?

$4$$4$$\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$$(1, 1)$$(0, 2)$$(2, 2)$X

..X.
.X..
..X.
....

$A = 6$$6$$T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

$A = 3$$T = 2$

XXX
.X.
...

Não se pode fazer melhor do que cobrir apenas três quadrados:

AAA
.X.
...

ou

XBX
.B.
.b.

(lembre-se de que os retângulos na partição não podem se sobrepor).

Com outras pessoas analisando essa questão, tentamos reduções no empacotamento de caixas, cobrindo problemas, ciclos 3-SAT e Hamiltoniano, e não conseguimos fazer com que uma funcionasse.

Este é um esboço de uma redução do MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SAT:

$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$$C_j$$C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$$C_j$ contém exatamente um literal verdadeiro.

O problema permanece NP-completo, mesmo que todos os literais nas cláusulas sejam positivos (MONOTONE), se o gráfico construído conectando cláusulas com variáveis ​​for planar (PLANAR) e cada variável estiver contida em exatamente 3 cláusulas (CUBIC) (C. Moore e JM Robson, Problemas difíceis com ladrilhos simples, Discrete Comput. Geom.26 (2001), 573-590.

$T=3, A=6$

$A$$+$$-$

$x_i$$x_i = TRUE$$x_i = FALSE$

$C_j$$L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

Por fim, podemos criar turnos e ativar dispositivos para transmitir os sinais de acordo com o gráfico planar subjacente e ajustar os pontos finais:

$H$$A$

$H /3$$A H / 3$

$H /3$$A H / 3$