Dijkstra para favorecer a solução com menor número de arestas, se vários caminhos tiverem o mesmo peso

Você pode modificar qualquer gráfico $G$ de modo que Dijkstra's encontre a solução com o número mínimo de arestas assim:

Multiplique cada peso de borda com um número $a$e adicione $1$ ao peso para penalizar cada aresta adicional na solução, ou seja,

$w'(u,v)=a*w(u,v)+1$

Isso não funciona para todos os valores de ; precisa ser pelo menos$a$$a$$x$para que isso funcione. E se$a$não é esse número mínimo, ele pode não escolher o caminho mais curto. Como encontro esse valor mínimo$x$?

Ps. Isso foi feito de forma recreativa, eu terminei com a lição de casa há muito tempo.

Dado um gráfico $G = (V,E,w)$, definimos $G'=(V,E,w')$ com $w'(e) = aw(e) + 1$ Onde $a = |E| + \varepsilon$ para alguns $\varepsilon \geq 0$ como proposto nos comentários da pergunta.

Lema
Let$P$ um caminho em $G$ com custo $C$, ie $w(P)=C$. Então,$P$ tem custo $aC + |P|$ no $G'$, ie $w'(P) = aC + |P|$.

O lema segue diretamente da definição de $w'$.

Ligue para o resultado de Dijkstra em $G'$ $P$, que é o caminho mais curto da $G'$. Presumir$P$ não era o caminho mais curto com menos arestas (entre todos os caminhos mais curtos) $G$. Isso pode acontecer de uma de duas maneiras.

1. $P$ não é o caminho mais curto $G$.
   Então, existe um caminho$P'$ com $w(P') < w(P)$. Como$|P|,|P'| \leq |E| \leq a$, isso implica que também $w'(P') < w'(P)$com lema acima. Isso contradiz que$P$ foi escolhido como o caminho mais curto $G'$.
2. $P$é um caminho mais curto, mas existe um caminho mais curto com menos arestas.
   Então, existe outro caminho mais curto$P'$ - ie $w(P) = w(P')$ - com $|P'| < |P|$. Isso implica que$w'(P') < w'(P)$ pelo lema acima, o que contradiz novamente que $P$ é o caminho mais curto $G'$.

Como ambos os casos levaram a uma contradição, $P$ é realmente um caminho mais curto com menos arestas em $G$.

Isso cobre metade da proposição. A respeito$a < |E|$, ie $a = |E| - \varepsilon$ com $\varepsilon \in (0,|E|)$?

1. Na verdade, também precisamos disso $a$ ou todos os pesos em $G$são inteiros. De outra forma,$w(P') < w(P)$ não causa os pesos em $G'$ ser pelo menos $|E|$separados. Isso não é uma restrição; sempre podemos escalar$w$ com um fator constante para que todos os pesos sejam inteiros, supondo que começamos com pesos racionais.