Dada uma bola em movimento em uma grade, quais quadrados a bola atinge?

Você recebe uma grade mxn. Uma bola adimensional é colocada no centro de um dos quadrados da grade e começa a se mover em uma das quatro direções: nordeste, noroeste, sudeste ou sudoeste. A bola continua se movendo até atingir a borda do tabuleiro; nesse ponto, ela se recupera de acordo com as leis da Física.

Dado m, n, a posição e direção inicial (NE / NW / SE / SW) da bola, é possível determinar se a bola atingirá um quadrado de grade alvo especificado (x0, y0)?

É possível responder à pergunta traçando exaustivamente o movimento da bola, mas existe alguma alternativa mais ~~fácil e~~ eficiente? Qualquer indicação para literatura relacionada também seria muito apreciada.

algorithms computational-geometry

— Mandar Mitra
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O método padrão para abordar esses tipos de problemas é estender a grade infinitamente. A bola quicando nas paredes é realmente a mesma que a bola que continua em linha reta para uma versão espelhada da mesma grade.

— Tom van der Zanden

Rastrear exaustivamente o movimento da bola é o mais fácil de programar, e também não é tão ruim em termos de eficiência. Você deve manter uma tabela de hash de todos os estados da bola que foram vistos anteriormente (onde o estado de uma bola é o quadrado da grade em que se encontra e em qual direção está indo); se você repetir um estado passado, saberá que ele será repetido para sempre e poderá parar de rastrear o movimento. Dessa forma, rastrear o movimento da bola levará no máximo $O(mn)$ tempo no pior dos casos.

Isso pode ser acelerado usando um pouco de álgebra simples para calcular "dado o estado atual, qual é o próximo muro que a bola atingirá?" no $O(1)$ tempo - isso será mais rápido, mas não mais fácil.

Existe uma solução mais elegante e eficiente, baseada na teoria dos números e na técnica de Tom Van der Zanden de estender a grade infinitamente .

Imagine um universo paralelo onde a bola viaja em linha reta em uma grade infinita; como diz Tom, ricochetear nas paredes do nosso universo equivale a continuar em linha reta no universo paralelo. Este é o primeiro insight que usaremos.

Vamos elaborar as implicações desse insight. Em nosso universo, a bola começa com alguma coordenada inicial $(x_0,y_0)$ , movendo NE, e queremos saber se alguma vez alcançará as coordenadas $(x',y')$ . O que isso significa no universo infinito? Bem, imagine colocar minas em coordenadas $(x',y')$ , $(x',2n-y')$ , $(x',y'+2n)$ , $(x',4n-y')$ , ..., $(2m-x',y')$ , $(2m-x',2n-y')$ , ... - em particular, nas coordenadas $(2im \pm x',2jn \pm y')$ Onde $i,j$ intervalo sobre todos os números inteiros. Então eu afirmo que a bola acabará por chegar às coordenadas $(x',y')$ em nosso universo, se e somente se a bola eventualmente atingir uma mina no universo paralelo. Portanto, nosso problema se reduz a perguntar: no universo paralelo, a bola atingirá uma mina?

A segunda percepção é que podemos usar a teoria dos números para responder a essa pergunta. Em particular, depois de $t$ unidades de tempo, a bola estará na posição $(x_0+t,y_0+t)$ no universo paralelo. Queremos saber se existem números inteiros. $t,i,j$ de tal modo que $x_0+t = 2im \pm x'$ e $y_0+t = 2jn \pm y'$ . Reorganizando essas equações e usando a linguagem da aritmética modular, estamos perguntando se existe um número inteiro. $t$ de modo que ambas as seguintes equações sejam válidas:

\begin{aligned} t & \equiv \pm x^{'} - x_{0} (\mod 2 m), \\ t & \equiv \pm y^{'} - y_{0} (\mod 2 n) . \end{aligned}

$\begin{align*}t &\equiv \pm x' - x_0 \pmod{2m},\\ t &\equiv \pm y' - y_0 \pmod{2n}.\end{align*}$

Agora estamos prontos para aplicar a teoria dos números. Em particular, isso é perfeitamente configurado para aplicar o teorema chinês do restante . Definir $g = 2 \gcd(m,n)$ . Então o sistema de equações acima tem uma solução nos números inteiros se e somente se

\pm x^{'} - x_{0} \equiv \pm y^{'} - y_{0} (\mod g) .

$\pm x' - x_0 \equiv \pm y' - y_0 \pmod{g}.$

Em outras palavras, devemos verificar as quatro condições a seguir:

$x'-x_0 \equiv y' - y_0 \pmod{g}$
$-x'-x_0 \equiv y' - y_0 \pmod{g}$
$x'-x_0 \equiv -y' - y_0 \pmod{g}$
$-x'-x_0 \equiv -y' - y_0 \pmod{g}$

Se qualquer uma dessas quatro condições se mantiver, existe uma solução para o sistema de equações acima e, portanto, no universo paralelo, a bola atingirá alguma mina; se nenhuma dessas quatro condições se mantiver, a bola nunca atingirá nenhuma mina. (Essas 4 condições são as condições relevantes se a bola estiver viajando inicialmente NE. As outras direções podem ser manipuladas simetricamente com um conjunto semelhante de 4 condições.)

Reformulando em termos do problema original, obtemos uma solução para o problema original que é fácil de implementar e é executada em $O(1)$ Tempo. Computamos $g=2 \gcd(m,n)$ e verifique as quatro condições na lista de marcadores acima. Se alguma das quatro condições persistir, a resposta é sim: a bola acabará por chegar ao ponto $(x',y')$ . Se nenhuma das quatro condições se mantiver, a resposta é não: a bola nunca chegará ao ponto $(x',y')$ .

— DW
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