Notação O grande aninhada

Digamos que eu tenho um gráfico $|G|$com arestas. Eu quero executar o BFS no que tem um tempo de execução de .$|E|=O(V^2)$$G$$O(V+E)$

Parece natural escrever que o tempo de execução neste gráfico seria e, em seguida, simplificaria para .$O(O(V^2)+V)$$O(V^2)$

Existem armadilhas para usar esse atalho "remove-the-anested-O" (não apenas nesse caso, mas de maneira mais geral)?

Deixe-me começar com uma recomendação: trate a notação Landau da mesma maneira que você deve tratar o arredondamento: arredondar raramente, arredondar tarde. Se você souber algo mais preciso do que$O(.)$, use-o até concluir todos os cálculos e faça o Landauify no final.

---

Quanto à questão, vamos examinar esse abuso de notação¹. Como interpretaríamos algo como$h \in O(f + O(g))$? Devemos substituir$O$com sua definição de dentro para fora. Então, nós temos

$\qquad \displaystyle \exists g' \in O(g).\, h \in O(f + g')$

e depois

$\qquad \displaystyle \exists g' \in O(g).\,\exists d>0.\, \forall n.\, h(n) \leq d(f(n) + g'(n))$

que é equivalente a

$\qquad \displaystyle \exists c > 0.\,\exists d>0.\, \forall n.\, h(n) \leq d(f(n) + cg(n))$.

Como certamente² $d(f(n) + cg(n)) \leq cd(f(n) + g(n))$, vemos que isso é equivalente a $h \in O(f + g)$; a perda de precisão é ignorada por$O$ de qualquer forma.

---

E quanto a outras combinações, digamos $h \in O(f + \Omega(g))$? Se tentarmos o mesmo aqui, obtemos

$\qquad \displaystyle \exists g' \in \Omega(g).\, h \in O(f + g')$.

Mas isso é uma tautologia: $h$é certamente delimitado acima por algo arbitrariamente grande. Portanto, combinar limites superior e inferior dessa maneira não é significativo.

---

1. $O(.)$e os outros símbolos do Landau mapeiam funções para classes funcionais. Alimentá-lo com uma classe de função não é imediatamente significativo.
2. Pelo menos se considerarmos apenas funções positivas, que podemos assumir com segurança ao falar sobre tempos de execução. Não tenho certeza se isso funciona em geral.

Eu só queria adicionar isso porque o encontrei recentemente. Embora este atalho seja bom com adição e multiplicação (quando não estiver misturando$O$ com $\Omega$; veja a resposta aceita), deve-se tomar cuidado ao usar expoentes. Por exemplo:

$$O(n^{O(m)}) \not= O(n^m).$$ Neste exemplo, $n^{2m}$ pertence à primeira classe, mas não à segunda.

Por definição, $O(g)$ é um conjunto e se você usar essa notação aninhada, você teria um conjunto em um conjunto, o que estaria errado.

A definição da notação O

$O(g) = \left \lbrace f|\exists c > 0\exists x_0>0 \forall x > x_0: |f(x)| \leq c *|g(x)|\right \rbrace$

O erro

Você usou termos como $O(O(n)+k)$ onde k e n são funções e $O(n)$é um conjunto. Mas qual é o resultado de uma função adicionada a um conjunto? Não está definido!

Versão correta

Em vez de usar os símbolos do Landau aninhados, você pode fazer o seguinte: $O(m+k),m \in O(n)$

Na seção 9.3 "$O$Manipulação "do livro Concrete Mathematics (Second Edition), Knuth listou algumas regras de manipulação no$O$-notation (A seguir, assumo que ambos $f(n)$ e $g(n)$são positivos; observe que a ordem das regras foi alterada).

$$\begin{gather} (1). \quad n^m = O(n^{m'}), \quad m \le m' \\ (3). \quad f(n) = O(f(n)) \\ (5). \quad O(O(f(n))) = O(f(n)) \\ (4). \quad c \cdot O(f(n)) = O(f(n)) \\ (2). \quad O(f(n)) + O(g(n)) = O(f(n) + g(n)) \\ (6). \quad O(f(n)) O(g(n)) = O(f(n) g(n)) = f(n) O(g(n))\\ \end{gather}$$

By (3), you can wrap/unwrap a function $f(n)$ with an O-notation. Then by (5), you can actually wrap/unwrap (or called, nest) it arbitrarily finite times. Using (4), you can also add/remove constant multiplication factors to/from $O$.

Then, (2) and (6) allow you to manipulate nested $O$-notations in the way compatible with $+$ and $\times$.