Dada a função computável, quais são as condições para a computabilidade da função inversa?

E se $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ é computável e tem um inverso, sob quais condições é $f^{-1}$também computável? Não consegui encontrar isso em um livro didático, e o google recebe algumas sugestões vagas sobre o bijetivo, mas não consegui encontrar um teorema claramente estabelecido para esse efeito. De improviso, o bijetivo parece suficiente, mas não é necessário, por exemplo,$f(n)=2n$ não é subjetivo, mas é invertível computacionalmente (para uma função total inversa, use domínio elevado $\mathbb{N}_\perp$ e mapeie números ímpares de volta para $\perp$) Além de uma resposta, seria ótima uma referência a um teorema / prova, ou apenas o nome de um teorema relevante, para que eu possa pesquisar no Google com sucesso.

Esta pergunta veio à mente em relação ao seguinte pensamento (que também não consegui encontrar em um livro ou no google nada). A distinção entre$f$ computável e $f^{-1}$not, versus os dois computáveis, parece meio análogo a uma distinção re versus recursiva. Isso pode ser expresso com rigor?

Por exemplo, considere $f:E\rightarrow E$com $f\in D=[E\rightarrow E]$ o domínio do espaço da função (contínua em Scott ou Lawson) de algum domínio $E$. Deixei$K_D$ estar $D$elementos compactos da $\downarrow f=\lbrace g\in K_D\mid g\sqsubseteq f\rbrace$, através do qual $f=\sqcup\downarrow f$, tudo da maneira usual. Então$f$ é computável se uma enumeração de $\downarrow f$ é re Da mesma forma, $f^{-1}$ é computável se uma enumeração de $\downarrow f^{-1}$ is re Então, se ambos são computáveis, ou seja, ambas as enumerações re, então isso parece (pelo menos para mim) meio análogo a recursivo.

Claro, não é a mesma coisa que recursiva, pois se $\mathbb{N}_f\subseteq\mathbb{N}$ é uma enumeração de $\downarrow f$e da mesma forma para $\mathbb{N}_{f^{-1}}$, então $\mathbb{N}_{f^{-1}}\neq\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}_f$(pelo menos acho que não). Mas parece haver algum tipo de idéia análoga tentando se expressar. Então, como você pode formular esse tipo de coisa rigorosamente? Entre os primeiros passos, acho que você gostaria de expressar$\mathbb{N}_{f^{-1}}$ em termos de $\mathbb{N}_f$, mas não estou vendo como proceder para configurá-lo (alguma sugestão sobre como fazer isso?).

Então, essa idéia também é bem conhecida e discutida? Um livro ou referência do Google (ou termo de pesquisa compatível com o Google) seria ótimo. Obrigado.

Digamos que uma função computável $f$ é invertível se houver outra função computável $g$ que na entrada $y$ ou encontra $x$ de tal modo que $f(x) = y$ ou retorna $\bot$ quando $y$ não tem pré-imagem.

Para esta definição, pode-se mostrar que uma função computável $f$ é invertível se, e somente se seu intervalo for decidível, ou seja, podemos decidir se uma determinada entrada tem uma pré-imagem sob $f$.