Se for um idioma comum, é regular para?

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Temos dois idiomas: . Sabemos que é uma linguagem comum, então minha pergunta é se é uma regular? $L_1,L_2$ $L_1L_2$ $L_2L_1$

Eu tento encontrar uma maneira de provar isso ...

Não posso supor que sejam regulares ... Então, procuro uma maneira de provar isso. $L_1,L_2$

Eu gostaria de receber alguma dica!

Obrigado!

formal-languages regular-languages closure-properties

— stud1
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Vamos continuar esta discussão no chat .

— Raphael

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Não, não é necessariamente regular. $L_2L_1$

Deixe , que é regular, e , que não é. Então é o conjunto de todas as strings que terminam com , o que é regular, mas é o conjunto de todas as strings que começam com , começam com um número diferente de zero de s seguido por pelo menos s. Esse idioma não é regular, pois sua interseção com é , o que não é -regular. $L_1 = \{0,1\}^*$ $L_2 = \{1\} \cup \{0^n1^n\mid n\geq 1\}$ $L_1L_2$ $1$ $L_2L_1$ $1$ $0$ $1$ $\{0^m1^n\mid m,n\geq 1\}$ $\{0^m1^n\mid 1\leq m\leq n\}$

— David Richerby
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Obrigado David, mas por que o " " em ? por que precisamos disso? Obrigado!

{1} \cup \dots

$\{1\}\cup \cdots$

L_{2}

$L_2$

— Jun

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@ stud1 Para garantir que seja regular.

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

— David Richerby

Mas (sem o ) ainda são todas as palavras que terminam com , certo? Então, ainda tento entender por que precisamos do , espero que esteja tudo bem. Estou perguntando :-) Obrigado!

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

{1}

$\{1\}$

1

$1$

{1}

$\{1\}$

— Jun

1

@ stud1 Se você excluir , por exemplo, . De maneira mais geral, as únicas sequências que estariam em seriam as que terminam em para .

{1}

$\{1\}$

1 \notin L_{1} L_{2}

$1\notin L_1L_2$

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

0^{m} w^{n}

$0^mw^n$

m \geq n \geq 1

$m\geq n\geq 1$

— David Richerby

1

@ stud1 Correto.

— precisa saber é o seguinte

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Eu estava postando apenas uma dica, então vi outras respostas completas, então essa é uma solução sucinta (oculta) completa :-)

Seja , ; temos que é regular, mas que não é regular. $L_1 = \{ 1^p \mid p \text{ is prime}\}$ $L_2 = \{ 1^* 0 \}$ $L_1 L_2 = \{ 11^+ 0\}$ $L_2 L_1 = \{ 1^* 0 1^p \mid p \text { is prime}\}$

— Vor
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1

Solução elegante!

— Anton Trunov

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@AntonTrunov: bastante elegante :-) pode ser usado para "mascarar" qualquer L_1 não regular , mas assim que eles são trocados, fica "exposto" novamente :-)

L_{2} = {1^{*} 0}

$L_2 = \{1^* 0\}$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

— Vor

Qual o significado do em ?

+

$+$

11^{+}

$11^+$

— Jun

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@ stud1: significa "um ou mais "; em outras palavras, é um "atalho" para . Então

1^{+}

$1^+$

1 s

$1s$

{1^{n} ∣ n \geq 1}

$\{1^n \mid n \geq 1\}$

{11^{+} 0} = {110, 1110, 11110, . . .}

$\{ 11^+0 \} = \{ 110, 1110, 11110, ...\}$

— Vor 5/12

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Esta não é uma dica, mas uma resposta completa. Não continue a ler se você ainda está tentando resolver.

Não há necessidade de ser regular. $L_2\cdot L_1$

Seja um idioma unário (não regular), de modo que seja regular. Esses idiomas podem ser encontrados no post aqui . Suponha que esteja acima do alfabeto . $A$ $A\cdot A$ $A$ $\{a\}$

Defina e . Em seguida, você obtém , o que é regular. No entanto, , que pode ser facilmente comprovado não regular, com base em não regular. $L_1=\{b\}\cdot A$ $L_2=A\cdot \{b\}$ $L_1\cdot L_2=\{b\}\cdot A^2\cdot \{b\}$ $L_2\cdot L_1=A\cdot \{bb\}\cdot A$ $A$

— Shaull
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As regras a seguir definem o idioma associado a qualquer expressão regular. Regra 1 O idioma associado à expressão regular que é apenas uma letra é a palavra de uma letra sozinha e o idioma associado a A é apenas {A}, um idioma de uma palavra. Regra 2 Se r, for uma expressão regular associada ao idioma L, e r 2 for uma expressão regular associada ao idioma L2, então,

(i) A expressão regular (rl) (r2) está associada ao idioma L, vezes L 2. idioma (r, r2) = L1L2 (ii) A expressão regular r, + r2 está associada ao idioma formado pelo união dos conjuntos L1 e L2. idioma (rl + r2) = L, + L2 (iii) O idioma associado à expressão regular (rl) * é LI *, o fechamento Kleene do conjunto LI como um conjunto de palavras. idioma (rl *) = L1 *

— Shashi Kumar
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