Como provar P

Estou ciente de que isso parece uma pergunta muito estúpida (ou óbvia demais para afirmar). No entanto, estou confuso em algum momento.

Podemos mostrar que P NP$=$ se e somente se pudermos projetar um algoritmo que resolva qualquer instância de problema em NP em tempo polinomial.

No entanto, eu não entendo como podemos provar que P NP . Por favor, desculpe-me pela seguinte semelhança, pois pode ser tão irrelevante, mas dizer a alguém para provar se P não é igual a NP parece-me como dizer a alguém para provar que Deus não existe.$\neq$

Há um conjunto de problemas, que não podem ser resolvidos por um autômato finito não determinístico (NFA) com número polinomial de estados, independentemente da tecnologia atual (eu sei que essa é uma definição superficial). Além disso, temos um conjunto consideravelmente grande de algoritmos que causa alguns problemas cruciais (caminho mais curto, árvore de abrangência mínima e até soma de números inteiros $1 + 2 + \dots + n$ ) problemas de tempo polinomial.

Minha pergunta resumida: se eu acredito que P NP$=$ , você diria "então mostre seu algoritmo que resolve um problema de PN em tempo polinomial!". Suponha que eu acredito em P $\neq$ NP . Então o que você perguntaria exatamente? O que você quer que eu mostre?

A resposta é claramente "sua prova". No entanto, que tipo de prova mostra que um algoritmo não pode existir? (nesse caso, um algoritmo de tempo polinomial para um problema de NP )

Existem três maneiras principais pelas quais estou ciente que poderiam provar que P$\,\neq\,$NP .

1. Mostrando que há algum problema que está em  NP , mas não em  P . Você provavelmente conhece a prova de que a classificação baseada em comparação precisa de tempo para classificar uma lista de n  itens. Pode-se, em princípio, produzir uma prova semelhante mostrando que o 3SAT ou algum outro problema completo de NP não pode ser resolvido no tempo O ( n c ) para qualquer constante  c. A complexidade do circuito é outra.$\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$ . A Teoria da Complexidade Geométrica procura usar ferramentas da geometria algébrica e da teoria de representação de grupos para provar esses limites inferiores, considerando as simetrias que os problemas possuem.

2. Mostrando que P e  NP têm propriedades estruturais diferentes. Por exemplo, P  é fechado sob complementação. Se você pudesse mostrar que NP$\,\neq\,$co-NP (ou seja, que NP  não está fechado sob complementação), então deve ser que P$\,\neq\,$NP . Obviamente, isso está apenas levando o problema um nível mais fundo - como você provaria que o NP$\,\neq\,$co-NP ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. Prove que algum problema não está completo no NP . Se P$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP .

Minha pergunta resumida: se eu acredito que P = NP , você diria "então mostre seu algoritmo que resolve um problema de PN em tempo polinomial!".

Não esqueça que você ainda precisa provar que seu algoritmo resolve o problema e que ele é executado em tempo polinomial.

Suponha que eu acredito em P ≠ NP . Então o que você perguntaria exatamente? O que você quer que eu mostre?

Primeiro, tente explicar "por que" P ≠ NP e por que esse motivo pode ser usado para provar P ≠ NP em uma estrutura lógica adequada. Em seguida, esboce uma prova e explique como suas partes mais duvidosas podem ser defendidas. Em seguida, divida essa prova em instruções mais simples, que podem ser verificadas independentemente.

• Por exemplo, a estrutura lógica fornecida pelo ZFC é boa (até boa demais, em certo sentido) para provar a existência de modelos (de conjuntos de axiomas explicitamente dados, muitas vezes até satisfazendo propriedades metalógicas adicionais). Portanto, se você conhece um motivo para P ≠ NP relacionado à existência de um modelo com algumas propriedades estranhas, primeiro explique esse motivo e depois mostre como o modelo correspondente pode ser construído no ZFC.
• Como um não exemplo, acredito que uma das razões "por que" P ≠ NP é que a matemática pode aproximar quase tudo o que ocorre no mundo físico, incluindo a aleatoriedade. No entanto, é sabido que os sistemas formais são muito limitados em sua capacidade de provar que uma determinada sequência, número, "objeto" ou "artefato" são essencialmente aleatórios, portanto, é improvável que esse motivo possa ser usado como prova. em qualquer sistema formal determinístico explicitamente determinado. Talvez se você projetou um sistema probabilístico (quântico) de prova, você pode verificar determinadas provas no sistema apenas até uma probabilidade finita, dependendo dos recursos físicos disponíveis ...
• Como um provável não exemplo, a lei do meio excluído reflete basicamente uma visão estática do universo (matemático) e, portanto, é extremamente improvável que se mantenha em um universo dinâmico. Agora NP = coNP (ou qualquer outro colapso da hierarquia polinomial) seria basicamente uma versão aproximada da lei do meio excluído em relação à complexidade do tempo, mas a complexidade do tempo está muito próxima de um universo dinâmico para que isso seja possível. Existem estruturas lógicas, como a lógica linear de Girard, que são capazes de capturar aspectos dinâmicos do universo, então ... Observe, no entanto, que Brouwer estava em uma situação semelhante e já declarou o fracasso necessário do programa de Hilbert como fato em seu discurso inaugural. Intuicionismo e Formalismo. em 1912 (explicando por que seria um raciocínio circular), mas ainda não conseguia esboçar a prova de incompletude de Gödel a partir de 1930.
• Como um exemplo aproximado, vamos tentar capturar algumas das evidências disponíveis para P ≠ NP , a saber, o limite inferior exponencial para o polítopo do vendedor ambulante e a intratabilidade dos procedimentos baseados em resolução para garantir a satisfação devido a princípios fracos de buracos de pombo. O "porquê" nesse caso é que uma determinada classe de problemas NP-completos não pode ser resolvida eficientemente por algoritmos baseados em certos princípios naturais (para a classe de problemas NP-completos considerados), como formulações de programação linear para TSP ou soluções baseadas em resolução. métodos de prova para SAT. Diferentes artigos deram diferentes razões independentes pelas quais isso poderia ser usado para provar alguma coisa; o último artigo sobre TSP, por exemplo, citou uma "conexão estreita entre reformulações de programação semidefinida de LPs e protocolos de comunicação quântica unidirecional" como razão, enquanto o último artigo sobre resolução citaram duas razões independentes, a saber, limites inferiores "para uma classe de fórmulas que representam o princípio do buraco de pombo e para fórmulas geradas aleatoriamente".
  Você também pode observar que houve tentativas de fortalecer os resultados ao longo do tempo. Os resultados iniciais para o TSP diziam respeito apenas à formulação de programação linear simétrica, enquanto os resultados mais recentes não têm essa restrição e também se aplicam aos problemas de corte máximo e conjunto estável máximo além do TSP. Os resultados iniciais da resolução consideraram apenas procedimentos básicos de resolução de Davis-Putnam e uma única classe de contra-exemplos artificiais, enquanto os resultados mais recentes abrangem grandes classes de métodos baseados em resolução e fornecem várias classes de contra-exemplos que ocorrem naturalmente.
  Para o TSP, não tenho idéia de como os resultados devem ser reforçados ainda mais, exceto talvez aplicando-se a mais problemas além do TSP, corte máximo e conjunto estável máximo. Para resolução, eu teria muitas idéias de como fortalecer ainda mais os resultados, mas o artigo ao qual vinculei é de 2002, Stephen Cook e Phuong Nguyen publicaram em 2010 uma monografia Fundamentos lógicos da complexidade da prova em 2010, que eu nem sequer navegava, e eu acho que já cobrirá muitas das minhas idéias. É interessante notar como pouca diferença realmente faz para a maioria de nós quanto esses resultados foram fortalecidos ao longo do tempo, apesar do nosso interesse no P ≠ NPquestão. Mesmo se, entretanto, fosse comprovado que algoritmos baseados em sistemas lógicos sem o equivalente da regra de corte não podem resolver com eficiência problemas de satisfação, ainda assim acreditamos que não houve praticamente nenhum progresso em P ≠ NP , que o problema é essencialmente ainda tão amplamente aberto como sempre.