Como faço para verificar se um DFA é equivalente a um NFA?

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Estou aprendendo a converter NFAs em DFAs e quero ter certeza de que estou fazendo o certo. Obviamente, voltar na outra direção não é uma coisa. Alguém conhece um algoritmo para verificar se um DFA é equivalente a um NFA?

— IAmOnStackExchange
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Uma interpretação do candidato: existe um "verificador de resultados" (no sentido de Wasserman e Blum ) para o problema de converter um NFA em um DFA? Em outras palavras, existe um algoritmo assintoticamente mais rápido do que a conversão propriamente dita, que, dado um suposto par (entrada, saída) para o algoritmo de conversão, verifica se a saída está correta?

— DW

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Esta é uma pergunta problemática. Existe uma maneira de verificar a equivalência de autômatos, o que explicarei agora, mas receio que não o ajude, como você verá no final.

Lembre-se que dois conjuntos e são iguais se e somente se e (esta é a definição da igualdade set). Assim, basta verificar se e , onde e são seus DFA e NFA, respectivamente. $A$ $B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$ $L(D)\subseteq L(N)$ $L(N)\subseteq L(D)$ $D$ $N$

Mas como você verifica a contenção de idiomas, você pode perguntar. Bem, agora observar que sse (onde é o complemento de ). $A\subseteq B$ $A\cap \overline{B}=\emptyset$ $\overline{B}$ $B$

Vamos considerar primeiro verificar se . Para fazer isso, você precisa complementar (muito fácil - troque os estados de aceitação e rejeição), construa o autômato de interseção (por exemplo, com a construção do produto) com e verifique o vazio, encontrando o caminho para um estado de aceitação. $L(N)\subseteq L(D)$ $D$ $N$

A direção inversa, no entanto, mostrará por que isso não ajuda. A fim de verificar se , você precisa complementar . Mas, para complementar um NFA, primeiro você precisa convertê-lo em um DFA, tornando toda a ideia inútil. $L(D)\subseteq L(N)$ $N$

Essencialmente, o problema com sua pergunta é muito mais profundo: você deseja verificar se você (um modelo computacional indefinido) executou um algoritmo bem definido corretamente. Portanto, este não é realmente um problema de ciência da computação.

Eu direi o seguinte: seguindo as construções sugeridas, não é difícil concluir que se houver uma palavra de comprimento no máximo ( sendo o número de estados de ) que é aceito por um e não pelo outro. Assim, você pode tentar todas as palavras até esse tamanho. $L(D)\neq L(N)$ $2^{2n}$ $n$ $N$

— Shaull
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Obrigado pela resposta bem pensada. Eu aprendi algo novo hoje. Parece que minha melhor aposta é apenas comparar meu trabalho com o JFLAP.

— IAmOnStackExchange

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A menos que o seu NFA seja grande (por exemplo, com mais de 7-8 estados), sua melhor opção é provavelmente apenas verificar-se cuidadosamente. Normalmente, após a remoção de estados inacessíveis, você obtém um DFA pequeno e a verificação manual não é muito difícil.

— Shaull

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Você não pode determinar e minimizar as duas máquinas e verificar se as duas são isomórficas?

— saadtaame

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Uma maneira de proceder é converter o NFA em um DFA e depois verificar a equivalência dos dois DFAs, para os quais existe um algoritmo linear [1].

O artigo a seguir trata o caso mais geral da equivalência de duas AFNs (o que, obviamente, também se aplica ao seu caso).

Filippo Bonchi, Damien Pous, Verificando a equivalência da NFA com bisimitações até a congruência Princípio das Linguagens de Programação (POPL), janeiro de 2013, Roma, Itália. ACM, pp. 457-468, 2013.

Resumo . Introduzimos a bisimulação até a congruência como uma técnica para provar a equivalência linguística de autômatos finitos não determinísticos. Explorando essa técnica, desenvolvemos uma otimização do algoritmo clássico de Hopcroft e Karp [1]. Comparamos nossa abordagem com os algoritmos antichain introduzidos recentemente, analisando e relacionando os dois métodos subjacentes de prova coindutiva. Damos exemplos concretos em que aprimoramos exponencialmente os antichains; além disso, os resultados experimentais mostram melhorias não negligenciáveis.

[1] JE Hopcroft e RM Karp. Um algoritmo linear para testar a equivalência de autômatos finitos. TR 114, Cornell Univ., Dezembro de 1971.

Consulte também o apêndice da Web deste documento , que contém scripts de prova de Coq dos resultados, um link para uma implementação e um applet interativo.

— J.-E. PIN
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Uma maneira de proceder é converter o NFA em um DFA , o objetivo do pôster é verificar o resultado desse algoritmo. Aplicar duas vezes é realmente uma maneira, mas não é imune ao mal-entendido do algoritmo. Provavelmente é por isso que um método de verificação foi solicitado.

— AProgrammer

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@programmer A parte principal da minha resposta é uma referência a um algoritmo para o qual um script de prova Coq está disponível, que é certamente o método de verificação mais seguro que consigo pensar.

— J.-E.

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Não sei ao certo o que alguém não tem certeza sobre sua compreensão de um algoritmo simples como o NFA para o DFA fará com um script de prova Coq. Parece usar álgebra para resolver o problema de matemática de uma terceira série.

— APROGRAMADOR #

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essa pergunta é mais sobre teste de software aplicado e verificação da correção na prática do que uma questão teórica.

se você tiver outro código para cruzamentos de computação e complementos (e esvaziar línguas DFA), você pode usar a ideia de que $D_1 \cap \bar{D_2}$ $D_2 \cap \bar{D_1}$ $\bar{D}$
você pode confiar no software testado anteriormente que foi testado para validar seus resultados. por exemplo, biblioteca AT&T FSM
Outra idéia: teste randomizado. escolha seqüências aleatórias no seu idioma. determine se as seqüências de caracteres são aceitas ou não pelo DFA / NFA. se os dois não forem iguais, com alta probabilidade, você encontrará seqüências que não correspondem.
Outra idéia: você pode escrever um código para percorrer todas as ramificações do DFA e NFA até uma profundidade específica e procurar incompatibilidades. isso é equivalente a enumerar todas as possíveis seqüências aceitas de determinados comprimentos.

— vzn
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