Transmitido para booleano, para programação linear inteira

Quero expressar a seguinte restrição, em um programa linear inteiro:

y = {\begin{cases} 0 0 & E se x = 0 0 \\ 1 1 & E se x \neq 0 \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

Eu já tenho as variáveis inteiras prometi que . Como posso expressar a restrição acima, em um formato adequado para uso com um solucionador de programação linear inteiro? $x,y$ $-100 \le x \le 100$

Presumivelmente, isso exigirá a introdução de algumas variáveis adicionais. Quais novas variáveis e restrições eu preciso adicionar? Isso pode ser feito corretamente com uma nova variável? Dois?

Equivalentemente, isso é perguntar como impor a restrição

y \neq 0 0 se e apenas se x \neq 0

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

no contexto em que eu já tenho restrições que implicam e . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(Meu objetivo é corrigir um erro em https://cs.stackexchange.com/a/12118/755 .)

linear-programming integer-programming

— DW
fonte

O que você tentou? Você já tentou trabalhar com alguns exemplos para ver se vê um padrão? Se sim, você tentou adivinhar e depois provar?

— Brika

Heh! Eu vejo o que você fez lá , @Brika. Se você está curioso para ver o que eu tentei, veja aqui , bem como esta explicação de por que isso estava realmente errado . Se você quiser ver minha próxima tentativa, veja minha resposta . Obrigado por ler minhas perguntas antigas e, se elas puderem ser melhoradas para o futuro, eu adoraria ouvir as sugestões que você possa ter!

— DW

Isso é muito bom. ;)

— Brika

Respostas:

Eu acho que posso fazer isso com uma variável binária extra $\delta \in \{0,1\}$ :

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0,001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0,001 y + 100.001 (1 1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

Atualizar

Isso pressupõe que $x$ é uma variável contínua . Se restringirmos $x$ ao valor inteiro , então a segunda restrição pode ser simplificada para:

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Erwin Kalvelagen
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Eu verifiquei isso corretamente testando exaustivamente com um pequeno programa. Obrigado pela solução!

— DW

@ErwinKalvelagen, você poderia explicar a sua lógica com delta de variável binária, para casos mais gerais, por exemplo, se y = {a: x> 0, b: x <0}.

— Nick

@ Nick A variável binária é usada para modelar uma construção 'OR'. Veja aqui uma resposta para sua pergunta.

— Erwin Kalvelagen

@ ErwinKalvelagen, a grande resposta, tentei aplicar a sua abordagem à minha pergunta aqui cs.stackexchange.com/questions/64794/… .

— 19416 Nick

@GonzaloSolera Na verdade, eu estava errado: eu assumi

como uma variável contínua. De fato, quando

é um valor inteiro, podemos mover 0,001 até 1, como você sugeriu.

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

O que se segue não é nada bonito, mas funciona. Seja , no caso específico da questão. Então, temos as seguintes restrições. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

A intuição é a seguinte. . Isso é codificado nas restrições 2 e 3. Da mesma forma, as restrições 4 e 5 codificam $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ . As três últimas restrições expressam . $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Pramod
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Isso parece ter um bug. Suponho que você pretenda

. No entanto, ainda está errado para

: queremos forçar

(

) nesse caso, mas não há escolha para

que satisfaça todas as equações, como a equação

requer

(isto é,

). Assim, esse ILP fornece o resultado errado quando

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

: queremos

, mas temos

. Além disso, a gama desejada para

como listado na pergunta é

, não

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

Aqui está uma solução que usa duas variáveis temporárias. Seja variáveis inteiras de zero ou um, com o significado pretendido de que se , se e . Eles podem ser aplicados com as seguintes restrições: $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
fonte

Esta resposta está incorreta, infelizmente. Ele restringirá

pela primeira parte da primeira restrição não trivial quando a pergunta for dada

. Não são divertidos os erros do muro? (Idem para

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW 02/02

@TLW, obrigado por capturar isso! Eu editei minha resposta para corrigir o erro. Testei exaustivamente com um pequeno programa e acho que deve estar correto agora.

— DW