Definição de PTAS vs. FPTAS

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Pelo que li no preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Esta é a definição do PTAS :

Um esquema de aproximação de tempo polinomial ( PTAS ) para o problema é um esquema de aproximação cuja complexidade de tempo é polinomial no tamanho da entrada. $X$

e definição do FPTAS

Um esquema de aproximação de tempo totalmente polinomial ( FPTAS ) para o problema é um esquema de aproximação cuja complexidade de tempo é polinomial no tamanho da entrada e também polinomial em 1 / . $X$ $\epsilon$

Então o escritor diz:

Portanto, para um PTAS, seria aceitável ter uma complexidade de tempo proporcional a onde é o tamanho da entrada; embora essa complexidade de tempo seja exponencial em . Um FPTAS não pode ter uma complexidade de tempo que cresça exponencialmente em mas uma complexidade de tempo proporcional a seria ótimo. Com relação à aproximação dos piores casos, um FPTAS é o resultado mais forte possível que podemos obter para um problema difícil de NP. $|I|^{1/\epsilon}$ $|I|$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $|I|^8/\epsilon^3$

Em seguida, ele sugeriu a figura a seguir para ilustrar os relacionamentos entre as classes de problemas:

Aqui estão as minhas perguntas:

$1/\epsilon$
$(n+1/\epsilon)^3$
O que ele quer dizer com: um FPTAS é o resultado mais forte possível que podemos obter para um problema difícil de NP.
No geral, eu gostaria de saber o que exatamente esses conceitos significam e quais são suas propriedades distintas.

Desde já, obrigado.

— M ama D
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(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

1

Não poste mais de uma pergunta em um post, por favor. É bem possível que entender uma resposta para sua primeira pergunta faça o resto. (IMHO, o seu problema é que você não entende o que "e também polinômio em 1 / £" significa.)

— Raphael

n

$n$

(n + 1 / ϵ)^{3}

$(n+1/\epsilon)^3$

n

$n$

@ RickyDemer você está certo, eu cometi um erro. Obrigado.

— M AMA D

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Deixe-me responder suas perguntas em ordem:

$n$ $1+\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C \geq 0$ $2^{1/\epsilon}$ $O((n/\epsilon)^C)$ $C$
$O((n/\epsilon)^C)$ $O(n^C e^{D/\epsilon})$ $\epsilon$ $E$ $1+1/n^E$
$1+\epsilon$ $(n+1/\epsilon)^3$ $\epsilon$ $O(n^3)$ $n$
$\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $n$ $\log(1/\epsilon)$ $n$ $\log(1/\epsilon)$
$C>1$ $1+\epsilon$ $e^{1/\epsilon}$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1+1/n^C$ $C$

— Yuval Filmus
fonte

Por favor, não incentive comportamentos indesejáveis de postagem.

— Raphael

1

$|I|=n$ $\epsilon$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$ $1/\epsilon$ $n$ $\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$ $n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$ $n^{1/\epsilon}$ $n$ $1/\epsilon$

— Cyriac Antony
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ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$